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RECHERCHES

Observons enfin que dans ce cas le plus grand diviseur commun des nombres $m$ et $n$ est égal au plus grand diviseur commun des nombres $\alpha m+\beta n$, $\gamma m+\delta n$. Soit en effet $\Delta$ ce diviseur, prenons les nombres $\mu$ et $\nu$ tels qu’on ait $\mu m+\nu n=\Delta$, on aura

	$(\delta \mu -\gamma \nu )(\alpha m+\beta n)-(\beta \mu -\alpha \nu )(\gamma m+\delta n)$
$=$	$(\alpha \delta -\beta \gamma )(\mu m+\nu n)$
$=$	$\pm \Delta$

Donc le plus grand diviseur commun des nombres $\alpha m+\beta n$, $\gamma m+\delta n$ divisera $\Delta$ ; mais $\Delta$ le divise, puisqu’il divise évidemment $\alpha m+\beta n$, $\gamma m+deltan\ ;$ donc ce plus grand commun diviseur est égal à $\Delta$. Il suit de là que si $m$ et $n$ sont premiers entre eux, $\alpha m+\beta n$ et $\gamma m+\delta n$ le seront aussi.

167. Théorème. Si les formes $\mathrm {ax^{2}+2bxy+cy^{2}\dots (F)} ,$ $\mathrm {a'x'^{2}+2b'x'y'+c'y'^{2}\dots (F')}$ sont équivalentes, que leur déterminant soit $\mathrm {D} ,$ que la dernière se change en la première en faisant $\mathrm {x'=\alpha x+\beta y} ,$ $\mathrm {y'=\gamma x+\delta y} ,$ que d'ailleurs le nombre $\mathrm {M}$ soit représenté par la forme $\mathrm {F}$ en faisant $\mathrm {x=m} ,$ $\mathrm {y=n} ,$ et partant, par la forme $\mathrm {F'}$ en faisant $\mathrm {x'=\alpha m+\beta n=m'} ,$ $\mathrm {y'=\gamma m+\delta n=n'} ,$ $\mathrm {m}$ et $\mathrm {n}$ et parconséquent $\mathrm {m'}$ et $\mathrm {n'}$ étant premiers entre eux, les deux représentations appartiendront à la même valeur de l’expression $\mathrm {{\sqrt {D}}{\pmod {M}}} ,$ ou à des valeurs opposées, suivant que la transformation de $\mathrm {F'}$ en $\mathrm {F}$ sera propre ou impropre.

Soient déterminés les nombres $\mu$, $\nu$ de manière qu’on ait $\mu m+\nu n=1$, et soient faits ${\frac {\delta \mu -\gamma \nu }{\alpha \delta -\beta \gamma }}=\mu '$, $-{\frac {\beta \mu +\alpha \nu }{\alpha \delta -\beta \gamma }}=\nu '$^[1]. On aura (n^o précéd.) $\mu 'm'+\nu 'n'=1$. Soit d’ailleurs

$\mu (bm+cn)$	$-\nu (am+bn)$	$=V$
$\mu '(b'm'+c'n')$	$-\nu '(a'm'+b'n')$	$=V'$

$V$ et $V'$ sont les valeurs de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$ auxquelles appartiennent la première et la seconde représentation. Cela posé, si dans $V'$ on met pour $m'$, $n'$, $\mu '$, $\nu '$ leurs valeurs, et dans $V$ pour $a$… $a'\alpha ^{2}+2b'\alpha \gamma +c'\gamma ^{2}$, pour $b$… $a'\alpha \beta +b'(\alpha \delta +\beta \gamma )+c'\gamma \delta$ pour $c$… $a'\beta ^{2}+2b'\beta \delta +c'\delta ^{2}$, on trouve, toutes réductions faites, $V=V'(\alpha \delta +\beta \gamma )$, et partant $V=V'$ ou $V=-V'$, suivant que $\alpha \delta +\beta \gamma$ sera $=+1$ ou $=-1$. Donc, etc.

Si donc on a plusieurs représentations d’un nombre $M$ par la forme $(a,b,c)$ au moyen des valeurs de $x$, $y$ premières entre elles et qui appartiennent à des valeurs différentes de l’expres-

1. $\mu '$ et $\nu '$ sont des nombres entiers puisque $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1$.