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RECHERCHES
Observons enfin que dans ce cas le plus grand diviseur commun des nombres et est égal au plus grand diviseur commun des nombres , . Soit en effet ce diviseur,
prenons les nombres et tels qu’on ait , on aura
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Donc le plus grand diviseur commun des nombres ,
divisera ; mais le divise, puisqu’il divise évidemment , donc ce plus grand commun diviseur
est égal à . Il suit de là que si et sont premiers entre eux,
et le seront aussi.
167. Théorème. Si les formes sont équivalentes, que leur déterminant soit que la dernière se change en la première en faisant que d'ailleurs le nombre soit représenté par la forme en faisant et partant, par la forme en faisant et et parconséquent et étant premiers entre eux, les deux représentations appartiendront à la même valeur de l’expression ou à des valeurs opposées, suivant que la transformation de en sera propre ou impropre.
Soient déterminés les nombres , de manière qu’on ait
, et soient faits , [1]. On aura
(no précéd.) . Soit d’ailleurs
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et sont les valeurs de l’expression auxquelles
appartiennent la première et la seconde représentation. Cela
posé, si dans on met pour , , , leurs valeurs, et dans
pour … , pour …
pour … , on trouve, toutes réductions faites,
, et partant ou , suivant que
sera ou . Donc, etc.
Si donc on a plusieurs représentations d’un nombre par la
forme au moyen des valeurs de , premières entre
elles et qui appartiennent à des valeurs différentes de l’expres-
- ↑ et sont des nombres entiers puisque .