etc. ; il provient des quarrés des nombres
etc., respectivement. Il est au contraire non-résidu des nombres
etc.
Nous avons déjà fait mention de ce théorème (no 64) ; mais on le démontre facilement par le no 106. En effet, pour un nombre premier de la forme , on a , et pour un nombre de la forme , on a Cette démonstration revient à celle du no 64 ; mais à cause de l’élégance du théorème et de son utilité, il ne sera pas inutile de le démontrer encore d’une autre manière.
109. Désignons par la somme de tous les résidus du nombre premier ; leur nombre, en excluant , est , qui sera pair toutes les fois que sera de la forme , et impair lorsque sera de la forme . Par analogie avec la nomenclature adoptée dans le no 77, dans lequel il était question de nombres en général, nous appellerons, résidus associés, ceux dont le produit sera ; en effet il est évident que si est un résidu, en sera un aussi, et comme le même résidu ne peut avoir plusieurs associés dans , il est clair que peut être distribué en classes, dont chacune contiendra deux résidus associés. Or il est évident que, s’il n’y avait aucun résidu qui n’eût d’autre associé que lui-même, c’est-à-dire si chaque classe contenait deux résidus différens, le nombre des résidus serait double de celui des classes. Si donc il y a des nombres qui soient eux-mêmes leurs associés, c’est-à-dire quelques classes qui ne contiennent qu’un résidu, ou, si on aime mieux, qui contiennent deux fois le même ; soit le nombre de ces classes, le nombre des autres, le nombre de tous les résidus sera donc sera pair ou impair suivant que sera de la forme ou ; mais (no 77) il n’y a pas de nombres plus petits que , autres que et qui soient eux-mêmes leurs associés, et le premier fait certainement partie des résidus ; ainsi dans le premier cas ou, ce qui revient au même, doit être résidu, et dans le second il doit être non-résidu ; autrement dans le premier cas on aurait , et dans le second , ce qui est impossible.
