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ARITHMÉTIQUES.

treprendre cette recherche, nous présenterons un caractère qui se déduit de la section précédente, et qui est digne d’être conservé à cause de sa simplicité et de sa généralité, quoiqu’il ne soit presque d’aucune utilité dans la pratique.

Un nombre quelconque $\mathrm {A} ,$ non divisible par un nombre premier $\mathrm {2m+1} ,$ est résidu ou non-résidu de ce nombre premier suivant que $\mathrm {A^{m}\equiv +1}$ ou $\mathrm {\equiv -1{\pmod {2m+1}}} .$

Soit en effet, pour le module $2m+1$, $a$ l’indice du nombre $A$, dans un système quelconque, $a$ sera pair quand $A$ sera un résidu, et impair quand $A$ sera non-résidu ; mais l’indice du nombre $A^{m}$ est $ma$, c’est-à-dire $\equiv 0$ ou $\equiv m$ suivant que $a$ est pair ou impair. Donc dans le premier cas on aura $A^{m}\equiv 1$ et dans le second $\equiv -1{\pmod {2m+1}}$ (n^os 57, 62).

Exemple. $3$ est résidu de $13$, parceque $3^{6}\equiv 1{\pmod {13}}$ ; au contraire $2$ n’est pas résidu de $13$, parceque $2^{6}\equiv {-1}$ ; mais pour peu que les nombres à examiner soient grands, ce caractère devient tout-à-fait inutile à cause de l’immensité du calcul.

107. Il est très-facile d’assigner tous les nombres qui sont résidus ou non-résidus d’un nombre donné. Soit en effet $m$ ce nombre ; on déterminera les quarrés dont les racines ne surpassent pas ${\frac {m}{2}}$ ; ou des nombres congrus à ces quarrés suivant le module $m$ (pour la pratique il y a encore des méthodes plus expéditives) ; alors tous les nombres congrus à quelqu’un de ceux-là, suivant le module $m$, seront résidus, et tous ceux qui ne seront congrus à aucun, seront non-résidus ; mais la question inverse, étant donné un nombre quelconque, assigner tous ceux dont il est résidu ou non-résidu, est d’une bien plus grande difficulté ; aussi nous allons nous occuper de ce problème, de la solution duquel dépend ce que nous nous sommes proposé dans l’article précédent ; et nous commencerons par les cas les plus simples.

108. Théorème. $-1$ est résidu de tous les nombres premiers de la forme $\mathrm {4n+1} ,$ et non-résidu de tous les nombres premiers de la forme $\mathrm {4n+3} .$

Exemple. $-1$ est résidu des nombres $5,$ $13,$ $17,$ $29,$ $37,$ $41,$ $53,$