forme ; en effet, les nombres premiers de la forme et
ne peuvent former que des nombres de la forme ou .
Si donc notre induction est généralement vraie, il n’y aura aucun
nombre de la forme , , dont le résidu soit . Or il
est bien certain qu’il n’existe aucun nombre de cette forme et au-dessous de , dont le résidu soit ; mais s’il y en avait au-dessus
de cette limite, supposons que soit le plus petit de tous ; sera de
la forme ou , et sera son résidu, mais il sera non-résidu de tous les nombres semblables plus petits. Soit ,
on pourra toujours prendre impair et car a au moins deux
valeurs positives plus petites que , dont la somme , et dont parconséquent l’une est paire et l’autre impaire (nos 104, 105). Cela posé,
soit ou , sera de la forme , et parconséquent de la forme ; donc sera de la forme
ou suivant que sera de la forme ou ; mais
de l’équation , on tire la congruence ,
c’est-à-dire que serait aussi résidu de . Il est aisé de voir
qu’on a ; il s’ensuivrait que ne serait pas le plus petit nombre
qui eût pour résidu, ce qui est contre l’hypothèse ; d’où suit
enfin une démonstration rigoureuse de cette proposition, que nous
avions déduite de l’induction.
En combinant cette proposition avec celles du no 111, on en déduit les théorèmes suivans :
I. est non-résidu, et est résidu de tous les nombres premiers de la forme .
II. et sont non-résidus de tous les nombres premiers de la forme .
113. Par une semblable induction on tirera de la table II, pour les nombres premiers dont le résidu est , ceux-ci : , , , , , , , , , , , [1], Parmi ces nombres il ne s’en trouve aucun de la forme ou ; cherchons donc si de cette induction nous pouvons tirer un théorème général. On fera voir de la même manière que dans l’article précédent, qu’un nombre composé de la forme ou , doit renfermer un facteur premier de la forme ou de la forme desorte que si notre induction est
- ↑ En considérant comme le produit de par ; voyez no 111.