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ARITHMÉTIQUES.

généralement vraie, $-2$ ne peut être résidu d’aucun nombre de la forme $8n+5$ ou $8n+7$ ; or s’il peut y en avoir de tels, soit $t$ le plus petit de tous, et qu’on ait $-2=a^{2}-tu$. Si l’on prend, comme plus haut, $a$ impair et $<t$, $u$ sera de la forme $8n+5$ ou $8n+7$, suivant que $t$ sera de la forme $8n+7$ ou $8n+5$ ; mais, de ce qu’on a $a<t$ et $ut=a^{2}+2$, il est facile de déduire que $u$ est $<t$ et comme $-2$ serait aussi résidu de $u$, il s’ensuivrait que $t$ ne serait pas le plus petit nombre dont $-2$ est le résidu, ce qui est contre l’hypothèse. Donc $-2$ sera nécessairement non-résidu de tous les nombres de la forme $8n+5$ ou $8n+7$.

En combinant cette proposition avec celles du n^o 111, on en déduit les théorèmes suivans :

I. $-2$ et $+2$ sont non-résidus de tous les nombres premiers de la forme $8\mathrm {n} +5\,;$ comme nous l’avons déjà trouvé.

II. $-2$ est non-résidu et $+2$ résidu de tous les nombres premiers de la forme $8\mathrm {n} +7.$

Au reste, nous aurions pu prendre $a$ pair dans les deux démonstrations ; mais alors il eût fallu distinguer le cas où $a$ est de la forme $4n+2$, de celui où il est de la forme $4n$ ; d’ailleurs la marche est absolument la même et n’est sujette à aucune difficulté.

114. Il nous reste encore à traiter le cas où le nombre premier est de la forme $8n+1$ ; mais il échappe à la méthode précédente et demande des artifices tout-à-fait particuliers.

Soit, pour le module premier $8n+1$, une racine primitive quelconque $a$, on aura (n^o 62 ) $a^{4n}\equiv {-1}{\pmod {8n+1}}$ ; cette congruence peut se mettre sous la forme $(a^{2n}+1)^{2}\equiv 2a^{2n}{\pmod {8n+1}}$, ou $(a^{2n}-1)^{2}\equiv {-2a^{2n}}{\pmod {8n+1}}$ ; d’où il suit que $2a^{2n}$ et $-2a^{2n}$ sont résidus de $8n+1$ ; mais comme $a^{2n}$ est un quarré non-divisible par le module, $+2$ et $-2$ seront aussi résidus (n^o 98 ).

115. Il ne sera pas inutile d’ajouter encore une autre démonstration de ce théorème, qui a le même rapport avec celle que nous venons de donner, que la seconde démonstration du théorème du n^o 108, a avec la première. Les gens instruits s’appercevront facilement que ces deux démonstrations ne sont pas aussi différentes qu’elles le paraissent au premier aspect, tant dans le premier cas que dans le second.

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