1o. Pour un module premier quelconque de la forme , parmi les nombres on en trouvera qui peuvent être congrus à un biquarré, et les autres ne pourront pas l’être.
On peut le conclure facilement des principes de la section précédente ; mais on peut aussi s’en passer sans difficulté. En effet nous avons démontré que pour un pareil module, était toujours résidu quadratique. Soit donc , il est clair que si est un nombre quelconque non divisible par le module, les biquarrés des quatre nombres (qu’on voit facilement être incongrus) seront congrus entre eux. Or il est évident que le biquarré de tel nombre qu’on voudra, qui ne serait congru à aucun de ces nombres, ne pourrait pas être congru à leurs biquarrés ; autrement la congruence aurait plus de quatre racines (no 43). On déduit facilement de là que les nombres fournissent seulement m biquarrés incongrus, pour lesquels, parmi les mêmes nombres, on en trouvera qui leur sont congrus ; les autres ne pourront être congrus à aucun biquarré.
2o. Suivant un module premier de la forme , peut être rendu congru à un biquarré ; c’est-à-dire que sera résidu biquadratique de ce nombre premier.
En effet le nombre des résidus biquadratiques moindres que (zéro excepté), sera c’est-à-dire, pair. Or on prouve facilement que, si est résidu biquadratique de la valeur de l’expression est un pareil résidu. Donc on peut distribuer les résidus biquadratiques par classes, comme nous l’avons fait, au no 109, pour les résidus quadratiques, et le reste de la démonstration est exactement le même qu’à l’article cité.
3o. Soit maintenant et la valeur de l’expression . On aura alors , puisque ; mais ; donc d’ailleurs donc ou et c’est-à-dire que et sont des résidus quadratiques de
116. Au reste on tire facilement de ce qui précède la règle générale suivante : est résidu de tout nombre qui n’est divisible ni par ni par aucun nombre premier de la forme ou
