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RECHERCHES

que les $e-1$ autres nombres pris dans la série $0,1,2,\ldots p-1$, seront racines de la congruence $B\equiv 0$.

3^o. Supposons maintenant $p$ de la forme $5n+4$, $e=5$, $b$ un non-résidu de $p$, et le nombre $a$ déterminé de manière à rendre ${\frac {(a+{\sqrt {b}})^{5}-(a-{\sqrt {b}})^{5}}{\sqrt {b}}}$ divisible par $p$. Cette expression devient

$=10a^{4}+20a^{2}b+2b^{2}=2\{(b+5a^{2})^{2}-20a^{4}\}$ ;

donc $(b+5a^{2})-20a^{4}\equiv 0{\pmod {p}}$ ; c’est-à-dire que $20a^{4}$ est résidu de $p$ ; mais comme $4a^{4}$ est un résidu non-divisible par $p$, (car on voit facilement que $a$ ne peut être divisible par $p$), $5$ sera lui-même résidu de $p$. Il est clair par là que le théorème énoncé au commencement de cet article est généralement vrai.

Observons encore que les démonstrations des deux cas sont dues à Lagrange. (Mémoires de l’Académie de Berlin, 1775, p. 352).

124. On démontre par une méthode semblable que $-7$ est non-résidu de tout nombre premier qui est non-résidu de $7$, et l’on peut conclure par induction, que $-7$ est résidu de tout nombre qui est résidu de $7$ ; mais personne n’a encore démontré rigoureusement cette seconde partie. Pour les nombres qui sont résidus de $7$ et de la forme $4n-1$, la démonstration est facile, car on peut démontrer par la méthode précédente qui est maintenant assez connue, que $+7$ est toujours non-résidu de ces nombres, et partant $-7$ résidu. Mais nous sommes peu avancés par là, car les autres cas ne peuvent être traités par cette méthode. Il y a cependant un cas qui peut être résolu de la même manière qu’aux n^os 119, 123. Soit $p$ un nombre de la forme $7n+1$, et $a$ un nombre appartenant à l’exposant $7$ ; on voit facilement que ${\frac {4(a^{7}-1)}{a-1}}=(2a^{3}+a^{2}-a-2)^{2}+7(a^{2}+a)^{2}\equiv 0$, et que partant $-7(a^{2}+a)^{2}$ est résidu de $p$. Mais $(a^{2}+a)^{2}$ comme quarré, est résidu de $p$ ; de plus il est non divisible par $p$. En effet $a$ n’est ni $\equiv 0$, ni $\equiv -1{\pmod {p}}$, c’est-à-dire que ni $a$, ni $a+1$ ne sont divisibles par $p$, et partant le quarré $(a-1)^{2}a^{2}$ ne l’est pas non plus. Donc $7$ lui-même est résidu de $p$. Mais les nombres de la forme $7n+2$, ou $7n+4$ échappent à toutes les méthodes que nous avons fait connaître jusqu’à présent. Au reste, cette démonstration est encore due à Lagrange, (ibidem). Nous montrerons plus bas gé-