que les autres nombres pris dans la série , seront racines de la congruence .
3o. Supposons maintenant de la forme , , un non-résidu de , et le nombre déterminé de manière à rendre divisible par . Cette expression devient
donc ; c’est-à-dire que est résidu de ; mais comme
est un résidu non-divisible par , (car on voit facilement que ne peut être divisible par ), sera lui-même résidu de .
Il est clair par là que le théorème énoncé au commencement
de cet article est généralement vrai.
Observons encore que les démonstrations des deux cas sont dues à Lagrange. (Mémoires de l’Académie de Berlin, 1775, p. 352).
124. On démontre par une méthode semblable que est non-résidu de tout nombre premier qui est non-résidu de , et l’on peut conclure par induction, que est résidu de tout nombre qui est résidu de ; mais personne n’a encore démontré rigoureusement cette seconde partie. Pour les nombres qui sont résidus de et de la forme , la démonstration est facile, car on peut démontrer par la méthode précédente qui est maintenant assez connue, que est toujours non-résidu de ces nombres, et partant résidu. Mais nous sommes peu avancés par là, car les autres cas ne peuvent être traités par cette méthode. Il y a cependant un cas qui peut être résolu de la même manière qu’aux nos 119, 123. Soit un nombre de la forme , et un nombre appartenant à l’exposant ; on voit facilement que , et que partant est résidu de . Mais comme quarré, est résidu de ; de plus il est non divisible par . En effet n’est ni , ni , c’est-à-dire que ni , ni ne sont divisibles par , et partant le quarré ne l’est pas non plus. Donc lui-même est résidu de . Mais les nombres de la forme , ou échappent à toutes les méthodes que nous avons fait connaître jusqu’à présent. Au reste, cette démonstration est encore due à Lagrange, (ibidem). Nous montrerons plus bas gé-