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RECHERCHES
donné quelconque, qu’il y a de termes divisibles par dans la
progression .... .
128. Théorème. Soit un nombre quelconque de la forme , un nombre quelconque premier avec et dont soit résidu, et un nombre arbitraire ; je dis que dans la suite, , , , , ... ou suivant que est pair ou impair, il y a au moins autant de termes divisibles par que dans la suite , ,
Désignons la première par (I), la seconde par (II).
1o. Quand , tous les termes de (I), le premier excepté,
c’est-à-dire termes, seront divisibles par , et il y en aura autant
dans (II).
2o. Si est un nombre impair, ou le double ou le quadruple d’un
nombre impair, et que , alors dans la progression
, , ... , , ... (III), qui a le même
nombre de termes que (II), il y aura au moins autant de termes
congrus à suivant le module , qu’il y en a dans (II) de divisibles
par (no précéd.) ; mais on ne pourra pas en trouver deux qui ne
diffèrent que par le signe ; en effet si , on
aura ; donc aussi , puisque par hypothèse ;
mais comme est premier avec , on ne peut avoir
à moins que , et nous avons déjà parlé de ce cas. Enfin chacun
de ces nombres aura, dans la série (I) , son correspondant qui sera
divisible par ; savoir, si est un terme de la série (III) congru à
suivant , on aura . Si donc est pair, le terme
sera divisible par ; si est impair, le terme
sera divisible par ; car sera entier et pair, puisque (hyp.)
est de la forme , et l’est aussi comme quarré d’un nombre
impair, tandis que est au plus divisible par . On conclut enfin
de là qu’il y a dans la série (I) autant de termes divisibles par ,
qu’il y en a dans la série (III) de congrus avec suivant le module , c’est-à-dire autant ou plus qu’il y en a de divisibles par
dans la série (II).
3o. Soit de la forme , et ; car on voit facilement que étant résidu de , le sera aussi de . Alors dans la