ront une des formes
| 7 et | …… | 8 et | …… | 9 et | …… | 10 et |
Exemple. Soient les nombres proposés et qui doivent être rapportés au 4e cas. est non-résidu d’un seul facteur premier de savoir, ; mais est résidu de trois facteurs premiers de , savoir, , , .
Si et désignent des nombres premiers, ces propositions reviennent à celles du no 151. En effet, dans ce cas et ne peuvent être plus grands que parconséquent lorsqu’on suppose pair ; il est nécessairement c’est-à-dire que est résidu de ; mais quand est impair, est non-résidu de et vice versâ. Ainsi en mettant et au lieu de et il suit de la 8e que si est résidu ou non-résidu de sera non-résidu ou résidu de ce qui s’accorde avec la 3e et la 4e du no 131.
En général il est clair que ne peut être résidu de à moins qu’on n’ait si donc est impair, est certainement non-résidu de
On peut déduire sans peine de là les propositions du no précédent.
Au reste on verra bientôt que ces relations générales ne sont pas une spéculation stérile, puisque sans leur secours il serait presqu’impossible de donner une démonstration complète du théorème fondamental.
134. Voyons maintenant la manière de déduire ces propositions.
1o . Soit, comme ci-dessus, décomposé en facteurs premiers, et en facteurs quelconques, ayant toutefois égard au signe de . On pourra combiner chaque facteur de avec chaque facteur de , et si l’on représente par le nombre de toutes les combinaisons dans lesquelles le facteur de est non-résidu du facteur de , et seront tous les deux pairs ou tous les deux impairs. Soient en effet , , , etc. les facteurs premiers de , et supposons que parmi les facteurs de , il y en ait m non-résidus de , non-résidus de , non-résidus de , etc. On voit facilement que l’on aura + etc., et que exprimera combien il y a de nombres impairs parmi , , etc. ; d’où il suit que est pair quand est pair, et impair quand est impair.
