2o. Ce que nous venons de dire a lieu de quelque manière qu’on décompose en facteurs. Passons aux cas particuliers. Considérons d’abord le cas où l’un des nombres est positif, et l’autre , de la forme ou ; décomposons et en facteurs premiers, en donnant à tous les facteurs de le signe , et le signe ou le signe à chacun de ceux de , suivant qu’ils seront de la forme ou , et sera alors de la forme ou , comme l’hypothèse l’exige. Combinons chacun des facteurs de avec chacun des facteurs de , et désignons comme ci-dessus par le nombre des combinaisons dans lesquelles le facteur de est non-résidu du facteur de , et semblablement par le nombre de celles où le facteur de est non-résidu du facteur de . Il suit du théorème fondamental que ces combinaisons doivent être identiques ; donc . Enfin de ce que nous avons démontré tout-à-l’heure, il suit que et , d’où . Les propositions 1, 3, 4, 6 du no 133 se trouvent démontrées par là.
On peut démontrer les autres propositions directement de la même manière ; mais elles exigent une considération nouvelle, et il est plus aisé de les déduire, comme il suit, des précédentes.
3o. Désignons de nouveau par et des nombres quelconques impairs et premiers entre eux, par et le nombre de facteurs premiers de et , nombres dont et sont respectivement non-résidus. Soit enfin le nombre de facteurs de dont est non-résidu : quand sera négatif par lui-même, il est évident que indiquera un nombre positif. Distribuons maintenant les facteurs de en quatre classes.
- (1) En facteurs de la forme , dont est résidu.
- (2) En facteurs de la forme , dont est résidu ; soit leur nombre .
- (3) En facteurs de la forme , dont est non-résidu ; soit leur nombre .
- (4) En facteurs de la forme , dont est non-résidu ; soit leur nombre .
On voit facilement que , et ; d’où
