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Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/124

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RECHERCHES

Or si le théorème fondamental n’est pas généralement vrai, il existera une limite jusqu’à laquelle il le sera ; de sorte qu’il n’ait pas lieu pour le nombre immédiatement plus grand  : ce qui revient au même que si nous disions qu’il y a deux nombres premiers dont le plus grand est , qui sont contraires au théorème, quoique deux autres nombres quelconques s’accordent avec lui, pourvu qu’ils soient plus petits que . D’où il suit que les propositions des nos 131, 132, 133 auront lieu jusqu’à . Nous allons voir que cette supposition ne peut subsister. Il y a plusieurs cas à distinguer, suivant la forme qu’affectent et le nombre premier plus petit que lui qui, comparé à , contrarie le théorème. Désignons ce nombre par .

Quand et sont de la forme , le théorème fondamental pourrait être faux de deux manières, savoir, si l’on avait à la fois, ou et , ou et .

Quand et sont de la forme , le théorème fondamental est faux, si l’on a en même temps ou et , (ou, ce qui revient au même, et , ou et , ou et ).

Quand est de la forme , et de la forme , le théorème fondamental est faux, si l’on a à la fois ou et  ; ou ou et ou .

Quand est de la forme , et de la forme , le théorème fondamental est faux, si l’on a ou , ou et  ; ou , ou et .

Si l’on peut démontrer qu’aucun de ces cas n’a lieu, il sera certain que la vérité du théorème fondamental n’est limitée par aucun terme. Entreprenons donc cette tâche ; mais comme plusieurs de ces cas dépendent des autres, nous ne pourrons conserver l’ordre dans lequel nous les avons présentés.

137. Premier cas. Quand est de la forme