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ARITHMÉTIQUES.

et $p$ de la même forme, et que l’on a $\pm pRa$, on ne peut pas avoir $\pm aNp$. C’est le premier cas du n^o 131.

Soit $+p\equiv e^{2}{\pmod {a}}$ et $e$ pair et $<a$, ce qui est toujours possible. Il y a deux cas à distinguer :

1^o . Quand $e$ n’est pas divisible par $p$. Soit $e^{2}=p+af$, $f$ sera positif et de la forme $4n+3$ (ou de la forme $B$), $<a$ et non divisible par $p$. On aura donc $e^{2}\equiv p{\pmod {f}}$, c’est-à-dire, $pRf$, d’où, par la proposition 11 du n^o 132, $\pm fRp$ ; (car les propositions ont lieu pour les nombres $p$ et $f<a$) ; mais on a aussi $afRp$, donc $\pm aRp$ (n^o 98).

2^o . Quand $e$ est divisible par $p$. Soit $e=gp$ et $e^{2}=p+ah$, ou $pg^{2}=1+ah$. Alors $h$ sera de la forme $4n+3$ (c’est-à-dire $B$), et premier avec $p$ et $g$. Or on aura $pg^{2}Rh$, donc aussi $pRh$, donc (proposition 11, n^o 132) $\pm hRp$ ; mais on a aussi $-ahRp$, à cause de $-ah\equiv 1{\pmod {p}}$, donc aussi $\mp aRp$.

138. Second cas. Quand $T+1$ est de la forme $4n+1$ ($=a$), $p$ de la forme $4n+3$, et que $\pm pR(T+1)$, on ne peut pas avoir $+(T+1)Np$, ou $-(T+1)Rp$. C’est le cinquième cas du n^o 131. Soit, comme ci-dessus, $e$ pair et $<a$ :

1^o. Quand $e$ n’est pas divisible par $p$, $f$ ne le sera pas non plus ; d’ailleurs $f$ sera positif, de la forme $4n+1$ (ou $A$) et $<a$ ; or on a $+pRf$, et partant $+fRp$ (prop. 10, n^o 132) ; mais on a aussi $+faRp$, donc $aRp$, ou $-aNp$.

2^o. Quand $e$ est divisible par $p$. Soit $e=pg$ et $f=ph$, on aura ainsi $g^{2}p=1+ah$ ; alors $h$ sera positif, de la forme $4n+3$ ($=B$) et premier à $p$ et à $g^{2}$. Or $+g^{2}pRh$, et parconséquent $pRh$ ; donc (prop. 13, n^o 132) $-hRp$ ; mais on a $-ahRp$, d’où il résulte $aRp$ et $-aNp$.

139. Troisième cas. Quand $T+1$ est de la forme $4n+1$ ($=a$),$p$ de la même forme, et que $\pm pNa$, on ne peut pas avoir $\pm aRp$. C’est le deuxième cas du n^o 131.

Soit pris un nombre premier moindre que $a$, dont $+a$ ne soit pas résidu (125—129) ; il faut considérer séparément deux cas, suivant que ce nombre premier sera de la forme $4n+1$ ou $4n+3$ ;