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ARITHMÉTIQUES.

directes. Nous supposerons les autres cas démontrés par les méthodes exposées précédemment, et que celui où le nombre premier est de la forme $8n+1$ n’est trouvé que par induction. Nous le démontrerons rigoureusement de la manière suivante.

Si $\pm 2$ n’était pas résidu de tous les nombres premiers de la forme $8n+1$, soit $a$ le plus petit nombre de cette forme, dont $\pm 2$ soit non-résidu, en sorte que le théorème ait lieu pour tous les nombres plus petits que $a$. On prendra un nombre premier $<{\frac {1}{2}}a$ dont $a$ ne soit pas résidu, ce qui est toujours possible, puisque par le n^o 129 on en trouvera un $<2{\sqrt {a}}$, et qu’on a $2{\sqrt {a}}<{\frac {1}{2}}a$, car cette condition se réduit à $4<{\sqrt {a}}$, ou $a>16$, et le plus petit nombre premier de la forme $8n+1$ ($1$ excepté) est $17$. Soit ce nombre $=p$, on aura, par le théorème fondamental, $pNa$ ; d’ailleurs $\pm 2Na$, donc $\pm 2pRa$. Soit donc $e^{2}\equiv {2p}{\pmod {a}}$, $e$ étant impair et $<a$ ; alors il y a deux cas à distinguer.

I. Quand $e$ n’est pas divisible par $p$. Soit $e^{2}=2p+aq$, $q$ sera positif, $<a$, non-divisible par $p$ ; il sera de la forme $8n+7$, ou $8n+3$, suivant que $p$ sera de la forme $4n+1$ ou $4n+3$. On distribuera tous les facteurs premiers de $q$ en quatre classes, et supposons qu’il y en ait $f$ de la forme $8n+1$, $g$ de la forme $8n+3$, $h$ de la forme $8n+5$, et $l$ de la forme $8n+7$. Soient $F$, $G$, $H$, $L$ les produits des facteurs de ces quatre classes ; on observera que, si les facteurs d’une certaine classe manquaient, il faudrait mettre $1$ à la place de leur produit. Cela posé, commençons par le cas où $p$ est de la forme $4n+1$, et conséquemment $q$ de la forme $8n+7$. $q$ étant $<a$ le théorème a lieu pour ses diviseurs de la forme $8n+1$, donc $2RF$ ; mais il est démontré que $2$ est résidu de tout nombre de la forme $8n+7$, donc aussi $2RL$. Or l’équation $e^{2}=2p+aq$ donne $2pRq$ et partant $2pRF$ et $2pRL$, donc $pRF$ et $pRL$ ; d’où s’ensuit enfin, en vertu du même théorème fondamental (prop. 9 et 11, n^o 132), $FRp$ et $LRp$. Mais $2$ est non-résidu de tout facteur de la forme $8n+3$ ou $8n+5$, donc il est résidu ou non-résidu de $GH$, suivant que $g+h$ est pair ou impair, et il est aisé de voir que $p$ est aussi résidu ou non-résidu dans les mêmes circonstances ; mais $g+h$ ne saurait être impair, car en examinant les différens cas, il s’ensuivrait que $FGHL$ ou $q$ serait de la forme $8n+3$ ou $8n+5$, contre l’hypothèse. On

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