Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/132

110

RECHERCHES

cessairement à des nombres dont les relations seront determinées par les numéros précités. Un exemple éclaircira cette méthode.

Soit proposé de trouver la relation de $453$ à $1236$ ; $1236=3.4.103$, et $453R4$ (II. 2.) (A), $453R3$ (II. 1.) ; il reste donc à trouver la relation de $453$ à $103$ ; or elle sera la même que celle de $41$ à $103$, puisque $453\equiv 41{\pmod {103}}$, ou (Théor. fond.) que celle de $103$ à $41$, ou encore que celle de $-20$ à $41$, puisque $-20\equiv 103{\pmod {41}}$ ; mais $-20=-1.2.2.5$ ; or $-1R41$ (n^o 108) ; $5R41$, car $41\equiv 1{\pmod {5}}$ et est parconséquent résidu de $5$ (théor. fond.) ; il suit de là que $+453\ R\ 103$, ou enfin $+453\ R\ 1236$.

147. Étant proposé un nombre quelconque $A$, on peut trouver de certaines formules qui contiennent tous les nombres premiers à $A$ dont $A$ est résidu, ou tous ceux qui sont diviseurs des nombres de la forme $x^{2}-A$, $x^{2}$ étant un quarré indéterminé. Nous appellerons simplement ces nombres diviseurs de $x^{2}-A$ ; l’on voit facilement ce que sont les non-diviseurs. Mais pour abréger nous ne considérerons que les diviseurs qui sont impairs et premiers à $A$, les autres cas se ramenant sans peine à celui-là.

Soit d’abord $A$ un nombre premier positif de la forme $4n+1$, ou négatif de la forme $4n-1$. Suivant le théorème fondamental, tous les nombres premiers qui, pris positivement, sont résidus de $A$, seront diviseurs de $x^{2}-A$ ; mais tous les nombres premiers non-résidus de $A$ seront non-diviseurs de $x^{2}-A$, si pourtant on en excepte $2$, qui est toujours diviseur. Soient $r$, $r'$, $r''$, etc., tous les résidus de $A$ qui sont plus petits que lui, et $n$, $n'$, $n''$, etc., tous les non-résidus ; alors tout nombre premier contenu dans une des formes $Ak+r$, $Ak+r'$, $Ak+r''$, etc. sera diviseur de $x^{2}-A$ ; mais tout nombre premier contenu dans une des formes $Ak+n$, $Ak+n'$, etc. sera non-diviseur de $x^{2}-A$, $k$ étant un nombre entier indéterminé. Nous appellerons les premières formes des diviseurs de $x^{2}-A$, et les dernières formes des non-diviseurs. Le nombre de chacune d’elles sera égal au nombre de résidus $r$, $r'$, etc. ou de non-résidus $n$, $n'$, etc., et partant, (n^o 96) ${\frac {1}{2}}(A-1)$. Or si $B$ est un nombre composé impair et que l’on ait $ARB$, tous les facteurs premiers de $B$ seront contenus dans une des premières formes, et parconséquent, $B$ lui-même ; donc tout nombre com-