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RECHERCHES

Soient

$m\mu +n\nu =1$,

$m\mu '+n\nu '=1$ ;

$\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)=V$, $\mu '(mb+nc)-\nu '(ma+nb)=V'$.

Si l’on multiplie la première équation par $\mu '$, la seconde par $\mu$, et qu’on retranche l’un des résultats de l’autre, il vient $\mu '-\mu =n(\mu '\nu -\mu \nu ')$ ; en multipliant par $\nu '$ et $\nu$, on tirera de même $\nu '-\nu =m(\mu \nu '-\mu '\nu )$. Mais les deux dernières donnent alors

$V'-V=(\mu '-\mu )(mb+nc)-(\nu '-\nu )(ma+nb)$

et substituant pour $\mu '-\mu$, $\nu '-\nu$ leurs valeurs

$V'-V=(\mu \nu '-\mu '\nu )(am^{2}+2bmn+cn^{2})=(\mu \nu '-\mu '\nu )M\ldots$

${\text{ou}}\quad V'\equiv V{\bmod {M}}.$

Ainsi, de quelque manière que $\mu$ et $\nu$ soient déterminés, la formule $\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)$ ne peut donner des valeurs différentes, c’est-à-dire incongrues, de l’expression ${\sqrt {b^{2}-ac}}{\pmod {M}}$. Si donc $V$ est une valeur quelconque de cette formule, nous dirons que la représentation du nombre $M$ par la forme $ax^{2}+2bxy+cy$, dans laquelle $x=m$ et $y=n$, appartient à la valeur $V$ de l’expression ${\sqrt {b^{2}-ac}}{\pmod {M}}$. Au reste on peut faire voir facilement que si $V$ est une valeur de cette formule, et que $V'\equiv V{\pmod {M}}$, on pourra prendre à la place de $\mu$ et $\nu$ d’autres nombres $\mu '=\mu +{\frac {n(V'-V)}{M}}$, et $\nu '=\nu -{\frac {m(V'-V)}{M}}$ qui donnent $V'$. Il suffit de faire $\mu '=\mu +{\frac {n(V-V')}{M}}$, $\nu '=\nu -{\frac {m(V-V')}{M}}$et l’on aura $\mu 'm+\nu 'n=\mu m+\nu n=1$ ; mais la valeur de la formule résultante de $\mu '$ et $\nu '$ surpassera celle qui résulte de $\mu$ et $\nu$ de la quantité $(\mu '\nu -\mu \nu ')M$ qui devient $=(\mu m+\nu n)(V'-V)=V'-V$ ; donc cette valeur sera $V'$.

156. Si l’on a deux représentations du même nombre par la même forme $(a,b,c)$, et que les valeurs des indéterminées soient premières entre elles, elles peuvent appartenir à la même valeur de l’expression ${\sqrt {b^{2}-ac}}{\pmod {M}}$, ou à des valeurs différentes.

Soit

$M=am^{2}+2bmn+cn^{2}=am'^{2}+2bm'n'+cn'^{2}$, et $\mu m+\nu n=1$, $\mu 'n'+\nu 'm'=1\,;$

il est clair que si l’on a

$\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)\equiv \mu '(m'b+n'c)-\nu '(m'a+n'b){\bmod {M}},$

la congruence aura toujours lieu quelques valeurs convenables que l’on prenne pour $\mu$ et $\nu$, $\mu '$ et $\nu '$, auquel cas nous dirons que la

représentation