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ARITHMÉTIQUES.
par le quarré d’une indéterminée quelconque, la seconde le double
du produit de et de cette indéterminée multipliée par une autre,
et la troisième le produit de par le quarré de cette seconde
indéterminée. Par exemple, exprimera la somme d’un
quarré et du double d’un quarré. Au reste, quoique les formes
et soient les mêmes, quant à leurs parties,
elles diffèrent cependant si l’on fait attention à l’ordre de ces parties ; aussi nous les distinguerons avec soin, et la suite fera voir
l’avantage qui en résultera.
154. Nous dirons qu’un nombre donné est représenté par une
forme donnée, si l’on peut trouver pour les indéterminées de cette
forme des valeurs qui la rendent égale au nombre donné.
Théorème. Si un nombre peut être représenté par la forme de manière que les valeurs des indéterminées soient premières entre elles ; sera résidu quadratique de
Soit et les valeurs des indéterminées, et qu’on ait
, et prenons les nombres et tels qu’on
ait (no 40). On prouvera facilement par la multiplication, que
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ou
donc
c’est-à-dire que est résidu quadratique de .
Nous appellerons par la suite déterminant de la forme
le nombre , dont nous verrons que dépendent en grande
partie les propriétés de cette forme.
155. Il suit de ce qu’on vient de voir que
est la valeur de l’expression . Or et
peuvent être déterminés d’une infinité de manières pour satisfaire à l’équation il en résultera donc différentes valeurs pour cette expression ; examinons quelles relations elles ont
entre elles.