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Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/146

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RECHERCHES


renfermera donc proprement, si F renferme , et , de la même manière, soit proprement ou non, et la forme renfermera improprement, dans le cas contraire.

Il suit de là que si l’on a tant de formes , , , , etc. qu’on voudra, telles que chacune renferme la suivante, la première renfermera la dernière, et la renfermera proprement ou improprement, suivant que le nombre des formes qui renferment la suivante improprement sera pair ou impair.

Si la forme est équivalente à la forme et la forme à la forme la forme sera équivalente à la forme et le sera proprement ou improprement, suivant que et , et seront équivalentes de la même manière ou d’une manière différente.

En effet, puisque , sont équivalentes aux formes respectivement, les premières renferment les dernières, et partant renferme , mais les dernières renferment aussi les premières, donc et sont équivalentes. Or, de ce que nous avons vu tout-à-l’heure, il suit que renferme proprement ou improprement, suivant que et , et sont équivalentes de même ou de différente manière, et il en est de même de et  ; donc, dans le premier cas, et sont proprement équivalentes, et dans le second, improprement.

Les formes sont équivalentes à la forme savoir, les deux premières improprement et la dernière proprement.

En effet se change en , en faisant et ce qui donne et partant, la transformation est impropre ; elle se change en par la transformation impropre , , et en par la transformation propre , .

Il suit de là qu’une forme quelconque équivalente à est proprement équivalente à cette forme ou à la forme . De même, si une certaine forme renferme la forme , où est contenue, elle renferme proprement l’une des deux formes