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ARITHMÉTIQUES.

$(a,b,c),$ $(a,-b,c),$ ou bien elle est renfermée proprement dans l’une des deux. Les formes $(a,b,c),$ $(a,-b,c)$ s’appelleront formes opposées.

160. Si les formes $(a,b,c),$ $(a',b',c')$ ont le même déterminant, et qu’on ait $c=a'$ et $b+b'\equiv 0{\pmod {c}}$, nous dirons qu’elles sont contiguës, et quand une désignation plus exacte sera nécessaire, nous dirons que la première est contiguë à la seconde par la première partie, et que la seconde est contiguë à la première par la dernière partie.

Ainsi la forme $(7,3,2)$ est contiguë à la forme $(3,4,7)$ par la dernière partie, la forme $(3,1,3)$ est contiguë par les deux parties à son opposée $(3,-1,3)$.

Les formes contiguës sont toujours proprement équivalentes.

Car la forme $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ se change en la forme contiguë $cx'^{2}+2b'x'y'+c'y'^{2}$ en faisant $x=-y'$ et $y=x'+{\frac {b+b'}{c}}y'$ (où, par hypothèse, ${\frac {b+b'}{c}}$ est un entier), comme on s’en assurera par le développement. Or $0.{\frac {b+b'}{c}}-1.(-1)=1$ ; donc la transformation est propre. Au reste, ces définitions et ces conclusions n’auraient plus lieu si $c=a'=0$ ; mais ce cas n’arrive que lorsque le déterminant des formes est un quarré.

Il suit de là que les formes $(a,b,c)$, $(a',b',c')$ sont proprement équivalentes, si $a=a'$ et $b\equiv b'{\pmod {a}}$, car la première est proprement équivalente à $(c,-b,a)$ (n^o précéd.) ; or celle-ci est contiguë par la première partie à la forme $(a',b',c')$.

161. Si la forme $\mathrm {(a,b,c} )$ renferme la forme $\mathrm {(a',b',c'} ),$ tout diviseur commun des nombres $\mathrm {a} ,$ $\mathrm {b} ,$ $\mathrm {c}$ le sera aussi des nombres $\mathrm {a'} ,$ $\mathrm {b'} ,$ $\mathrm {c'}$ et tout diviseur commun de $\mathrm {a} ,$ $\mathrm {2b} ,$ $\mathrm {c}$ le sera aussi de $\mathrm {a'} ,$ $\mathrm {2b'} ,$ $\mathrm {c'} .$

L’inspection des trois équations du n^o 157 suffit pour le démontrer, en ayant soin de multiplier la seconde par $2$ pour la seconde partie de la proposition.

Il suit de là que le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $b$, $(2b)$, $c$ doit diviser celui des nombres $a'$, $b'$, $(2b')$, $c'$.