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ARITHMÉTIQUES.

en ajoutant les produits

$(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )Um^{2}$	$=$	$m\alpha U^{2}$,
$(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )Um^{2}$	$=$	$2mbU^{2}$,
$(\beta \delta '-\beta '\delta )Um^{2}$	$=$	$mcU^{2}$,

équations qui, divisées par $mU$^[1], deviennent

$aU$	$=$	$m(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )$	…… (19)
$2bU$	$=$	$m(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )$	…… (20)
$cU$	$=$	$m(\beta \delta '-\beta '\delta )$	…… (21)

dont une quelconque peut donner la valeur de $U$ plus facilement que l’équation (14). Il suit aussi de là que de quelque manière qu’on détermine $A'$, $B'$, $C'$, et ces quantités peuvent être déterminées par plusieurs méthodes différentes, on aura toujours les mêmes valeurs, pour $T$ et pour $U$.

Or en combinant l’équation (18) avec l’équation (20), on en tire par soustraction et par addition les deux suivantes

$eT-bU$	$=$	$m(\alpha '\delta -\beta \gamma ')$…… (22)
$eT+BU$	$=$	$m(\alpha \delta '-\beta '\gamma )$…… (23),

et à l’aide des quatre équations (19), (21), (22), (23), qui ne sont que du premier degré, on obtiendra sans peine les valeurs de $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$, au moyen des équations suivantes qui en dérivent,

$me\alpha '$	$=$	$\alpha eT+(a\beta -b\alpha )U$,
$me\beta '$	$=$	$\beta eT+(b\beta -c\alpha )U$,
$me\gamma '$	$=$	$\gamma eT+(a\delta -b\gamma )U$,
$me\delta '$	$=$	$\delta eT+(b\delta -c\gamma )U$,

ou, en y substituant les valeurs de $a$, $b$, $c$, tirées des équations (1), (3), (5),

$m\alpha '$	$=$	$\alpha T-(B\alpha +C\gamma )U$,
$m\beta '$	$=$	$\beta T-(B\beta +C\delta )U$,
$m\gamma '$	$=$	$\gamma T+(A\alpha +B\gamma )U$,
$m\delta '$	$=$	$\delta T+(A\beta +B\delta )U$.

Il suit de l’analyse précédente, qu’il n’y a pas de transformation de $F$ en $f$, semblable à la proposée, qui ne soit contenue dans les formules

$X$	$=$	${\frac {1}{m}}\{\alpha t-(B\alpha +C\gamma )u\}x+{\frac {1}{m}}\{\beta t-(B\beta +C\delta )u\}y$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\}$	...... (I),
$Y$	$=$	${\frac {1}{m}}\{\gamma t+(A\alpha +B\gamma )u\}x+{\frac {1}{m}}\{\delta t+(A\beta +B\delta )u\}y$

1. Cette division ne serait pas possible si l’on avait $U=0$ ; mais alors les équations (19), (20), (21) naîtraient immédiatement de la première, de la troisième et de la sixième des équations précédentes.

R