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RECHERCHES

qu’une forme $F$ en renfermât une autre $F'$, tant proprement qu’improprement. On voit que cela aura lieu, si l’on peut interposer une autre forme $G$, telle que $F$ renferme $G$, et que $G$ renferme $F'$, et que la forme $G$ soit de nature à être proprement équivalente à elle-même. Car si l’on suppose que $F$ renferme $G$ proprement ou improprement, comme $G$ se renferme lui-même improprement, $F$ renfermera $G$ improprement ou proprement, selon la supposition primitive, et partant le renfermera dans les deux cas, proprement ou improprement (n^o 159). On trouvera de même que de quelque manière que $G$ renferme $F'$, $F$ doit toujours renfermer $F'$ des deux manières. Or on reconnaît qu’il existe des formes improprement équivalentes à elles-mêmes par un cas très-évident, celui de la forme $(a,0,c)$, qui se change en $(a,0,c)$ en faisant $x=x'+0.y'$ et $y=0.x'-y'$. Plus généralement, toute forme $(a,b,c)$ jouit de cette propriété lorsque $2b$ est divisible par $a$ ; en effet la forme $(c,b,a)$ est contiguë à $(a,b,c)$ par la première partie (n^o 160), et partant lui est proprement équivalente, mais $(c,b,a)$ (n^o 159) équivaut improprement à $(a,b,c)$ ; donc $(a,b,c)$ équivaut improprement à elle-même. Nous nommerons formes ambiguës les formes $(a,b,c)$ dans lesquelles $2b$ est divisible par $a$. Nous avons donc le théorème suivant :

La forme $\mathrm {F}$ renfermera la forme $\mathrm {F'}$ proprement et improprement, si on peut trouver une forme ambiguë que $\mathrm {F}$ renferme et qui renferme $\mathrm {F'} .$

La réciproque est également vraie, et c’est l’objet du numéro suivant.

164. Théorème. Si la forme $\mathrm {Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}\dots (F)} ,$ renferme tant proprement qu’improprement la forme $\mathrm {A'x'^{2}+2B'x'y'+C'y'^{2}\dots (F')} ,$ on pourra trouver une forme ambiguë que $\mathrm {F}$ renfermera et qui renfermera $\mathrm {F'} .$

Supposons que $F$ devienne $F'$ par la substitution $x=\alpha x'+\beta 'y$, $y=\gamma x'+\delta y'$, et par la substitution dissemblable $x=\alpha 'x'+\beta 'y'$, $y=\gamma 'x'+\delta 'y'$. Soit $\alpha \delta -\beta \gamma =e$, $\alpha '\delta '-\beta '\gamma '=e'$, on aura $B'^{2}-AC=e^{2}(B^{2}-AC)=e'^{2}(B^{2}-AC)$ ; donc $e^{2}=e'^{2}$, et comme $e$ et $e'$ sont de signe contraire $e=-e'$ ou $e+e'=0$ ; or il est clair