Aller au contenu

Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/154

La bibliothèque libre.
Cette page a été validée par deux contributeurs.
132
RECHERCHES


qu’une forme en renfermât une autre , tant proprement qu’improprement. On voit que cela aura lieu, si l’on peut interposer une autre forme , telle que renferme , et que renferme , et que la forme soit de nature à être proprement équivalente à elle-même. Car si l’on suppose que renferme proprement ou improprement, comme se renferme lui-même improprement, renfermera improprement ou proprement, selon la supposition primitive, et partant le renfermera dans les deux cas, proprement ou improprement (no 159). On trouvera de même que de quelque manière que renferme , doit toujours renfermer des deux manières. Or on reconnaît qu’il existe des formes improprement équivalentes à elles-mêmes par un cas très-évident, celui de la forme , qui se change en en faisant et . Plus généralement, toute forme jouit de cette propriété lorsque est divisible par  ; en effet la forme est contiguë à par la première partie (no 160), et partant lui est proprement équivalente, mais (no 159) équivaut improprement à  ; donc équivaut improprement à elle-même. Nous nommerons formes ambiguës les formes dans lesquelles est divisible par . Nous avons donc le théorème suivant :

La forme renfermera la forme proprement et improprement, si on peut trouver une forme ambiguë que renferme et qui renferme

La réciproque est également vraie, et c’est l’objet du numéro suivant.

164. Théorème. Si la forme renferme tant proprement qu’improprement la forme on pourra trouver une forme ambiguë que renfermera et qui renfermera

Supposons que devienne par la substitution , , et par la substitution dissemblable , . Soit , , on aura  ; donc , et comme et sont de signe contraire ou  ; or il est clair