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ARITHMÉTIQUES.

qu’on arrivera à la même forme en substituant dans $F'$, pour $x'$, $\delta 'x''-\beta 'y''$, pour $y'$, $-\gamma 'x''+\alpha 'y''$, qu’en substituant dans $F$

ou bien	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$	pour x…	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\{$		$\alpha (\delta 'x''-\beta 'y'')$	$+\beta (-\gamma 'x''+\alpha 'y'')$
				$=$	$(\alpha \delta '-\beta \gamma ')x''$	$+(\alpha '\beta -\alpha \beta ')y''$
		pour y…	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\{$		$\gamma (\delta 'x''-\beta 'y'')$	$+\gamma (\delta 'x''+\beta 'y'')$
				$=$	$(\gamma \delta 'x''+\gamma '\delta )x''$	$+(\alpha '\delta -\beta '\gamma )y''$
ou bien	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$	pour x…	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$		$\alpha '(\delta 'x''-\beta 'y'')$	$+\beta '(-\gamma 'x''+\alpha 'y'')$
				$=$	$(\alpha '\delta '-\beta '\gamma ')x''$
				$=$	$e'x''$
		pour y…	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$		$\gamma '(\delta 'x''-\beta 'y'')$	$+\delta '(-\gamma 'x''+\alpha 'y'')$
				$=$	$(\alpha '\delta '-\beta '\gamma ')x''$
				$=$	$e'y''$

Ainsi en faisant

$\alpha \delta '-\beta \gamma '=a\quad \alpha '\beta -\alpha \beta '=b\quad \gamma \delta '-\gamma '\delta =c\quad \alpha '\delta -\beta '\gamma =d,$

la forme $F$ se changera en une même forme par les substitutions $x=ax''+by''$, $y=cx''+dy''$ et $x=e'x''$, $y=e'y''$, ce qui donne les trois équations suivantes :

$Aa^{2}+2Bac+Cc^{2}$	$=$	$Ae'^{2}$	……… (1)
$Aab+B(ad+bc)+Ccd$	$=$	$Be'^{2}$	……… (2)
$Ab^{2}+2Bbd+Cd^{2}$	$=$	$Ce'^{2}$	……… (3)

mais des valeurs de $a$, $b$, $c$, $d$, on tire

$ad-bc=ee'=-e^{2}=-e'^{2}$ …………… (4)

Si l’on multiplie l’équation (I) par $d$, l’équation (2) par $c$, et qu’on retranche, on trouve $(Aa+Bc)(ad-bc)=(Ad-Bc)e'^{2}$, et partant $A(a+d)=0$.

En multipliant l’équation (2) par $a+d$ et en retranchant le produit de l’équation (I) par $b$ et de l’équation (3) par $c$, on trouve $\left(Ab+B(a+d)+Cc\right)(ad-bc)=(-Ab+B(a+d)-Cc)e'^{2}$, d’où $B(a+d)=0$.

Enfin en retranchant du produit de l’équation (3) par $c$ celui de l’équation (2) par $b$, on trouve $(Bb+Cd)(ad-bc)=(-Bb+Ca)e'^{2}$, d’où $C(a+d)=0$. Or comme $A$, $B$, $C$ ne peuvent dans aucun cas être nuls en même temps, il s’ensuit que

$a+d=0$ ……………………………… (5)

Si l’on multiplie l’équation (2) par $a$ et qu’on en retranche l’équation (I) multipliée par $b$, il vient $(Ba+Cc)(ad+bc)=(Ba-Ab)e'^{2}$, d’où

$Ab-2Ba-Cc=0$ …………………… (6)

Des équations : $e+e'=0$, $a+d=0$ ou $\alpha \delta -\beta \gamma +\alpha '\delta '-\beta '\gamma '=0$ et $\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma =0$, on déduit $(\alpha +\alpha ')(\delta +\delta ')=(\beta +\beta ')(\gamma +\gamma ')$,