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RECHERCHES

$b'^{2}\equiv b^{2},$ d’où $b'^{2}+D\equiv b^{2}+D\equiv aa'{\pmod {a'}}.$ Maintenant, si $a''<a',$ soit encore $b''$ résidu minimum de $-b'$, suivant le module $a''$ et $a''={\frac {b''^{2}+D}{a''}}.$ Si $a'''<a''$, soit de même $b'''$ résidu absolu minimum de $-b'',$ suivant le module $a'''$, et $a^{IV}$ ; en continuant cette opération jusqu’à ce que l’on parvienne à un terme $a^{(m+1)}$ de cette progression qui ne soit pas plus petit que le terme précédent $a^{(m)}$ ; ce qui arrivera nécessairement, sans quoi on aurait une suite de nombres entiers plus grands que zéro et décroissans à l’infini. Alors la forme $(a^{(m)},b^{(m)},a^{(m+1)})$ satisfera à toutes les conditions.

En effet, 1^o. dans la suite de formes $(a,b,a')$, $(a',b',a'')$, $a'',b'',a''')$, etc., une quelconque est contiguë à celle qui la précède ; donc la dernière est proprement équivalente à la première (n^os 159 et 160).

2^o. Comme $b^{(m)}$ est le résidu minimum absolu de $-b^{(m-1)}$ suivant le module $a^{(m-1)}$, il ne sera pas plus grand que ${\frac {1}{2}}a^{(m)}$ (n^o 4.).

3^o. Puisque $a^{(m)}.a^{(m+1)}=D+b^{(m)2}$, et que $a^{(m+1)}$ non $<a^{(m)}$, $a^{(m)2}$ ne sera $>D+b^{(m)2}$ ; et comme $b^{(m)}$ est non $>{\frac {1}{2}}a^{(m)}$, $a^{(m)2}$ ne sera pas $>D+{\frac {1}{4}}a^{(m)2}$, ou $>{\frac {3}{4}}a^{(m)2}$ ne sera pas plus grand que $D$ ; donc enfin $a^{(m)}$ non $>2{\sqrt {\frac {D}{3}}}$.

Exemple. Soit la forme $(304,217,155)$ dont le déterminant $=-31$, on trouve la suite de formes : $(304,217,155)$, $(155,-62,25)$, $(25,12,7)$, $(7,2,5)$, $(5,-2,7)$ ; et la dernière est la forme cherchée. De même, pour la forme $(121,49,20)$ dont le déterminant est $-19$, on trouve les formes équivalentes : $(20,-9,5)$, $(5,-1,4)$, $(4,1,5)$ ; donc $(4,1,5)$ est la forme cherchée.

Nous appellerons formes réduites les formes $(A,B,C)$, qui sont telles que, le déterminant étant négatif on ait $A$ non $>2{\sqrt {\frac {D}{3}}}$, $B$ non $>{\frac {1}{2}}A$, et $C$ non $<A$ ; ainsi on peut trouver une forme