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ARITHMÉTIQUES.

réduite proprement équivalente à une forme donnée quelle qu’elle soit.

172. Problème. Trouver les conditions nécessaires pour que deux formes réduites non identiques et de même déterminant négatif, soient proprement équivalentes.

Soient les formes $(a,b,c)$, $(a',b',c')$ dont le déterminant est $-D$ ; supposons, ce qui est permis, que $a'$ ne soit pas $>a$, et que la forme $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ se change en $a'x'^{2}+2b'x'y'+c'y'^{2}$, par la substitution propre $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'$. On aura les équations

$a\alpha ^{2}+2b\alpha \gamma +c\gamma ^{2}$	$=a'$	……(1)
$a\alpha \beta +b(\alpha \delta +\beta \gamma )+c\gamma \delta$	$=b'$	……(2)
$\alpha \delta -\beta \gamma$	$=1$	……(3)

L’équation (1) peut se mettre sous la forme $aa'=(a\alpha +b\gamma )^{2}+Dy^{2}$, donc $aa'$ est positif ; et comme on a d’ailleurs $ac=D+b^{2}$, $a'c'=D+b'^{2}$, il s’ensuit que $ac$, $a'c'$, $aa'$ sont positifs, et partant que $a$, $a'$, $c$, $c'$ sont tous de même signe. Mais $a$ et $a'$ sont non $>2{\sqrt {\frac {D}{3}}}$ donc $aa'$, et à plus forte raison $D\gamma ^{2}$ ne sera pas $>{\frac {4}{3}}D$ ; mais $\gamma$ doit être entier, il sera donc $0$ ou $\pm 1$.

I. Si $\gamma =0$, l’équation (3) donne $\alpha \delta =1$, et partant $\alpha =\pm 1$, et $\delta =\pm 1$ : dans les deux cas, il résulte de l’équation (1), $a=a'$, et de l’équation (2) $b'-b=\pm \beta a$ ; mais $b$ est non $>{\frac {1}{2}}a$, $b'$ non $>{\frac {1}{2}}a'$, et partant non $>{\frac {1}{2}}a$ ; donc l’équation $b'-b=\pm \beta a$ ne peut avoir lieu si $b$ est de même signe que $b'$, à moins qu’on n’ait $b=b'$, d’où s’ensuivrait $c'={\frac {b'^{2}+D}{a'}}={\frac {b^{2}+D}{a}}=c$, et partant, à moins que les formes $(a,b,c)$, $(a',b',c')$ ne soient identiques, ce qui est contre l’hypothèse. Si $b$ et $b'$ sont de signe contraire, cette équation n’aura lieu non plus qu’en supposant $b=b'\pm {\frac {1}{2}}a$, ce qui donne de même $c'=c$ ; la forme $(a',b',c')$ sera donc $(a,-b,c)$, c’est-à-dire opposée à la forme $(a,b,c)$. On voit d’ailleurs que ces formes sont ambiguës, puisque $2b=+a$ (n^o 163).

II. Si $\gamma =\pm 1$, l’équation (1) devient $a\alpha ^{2}+c-a'=\pm 2b\alpha$ ; mais $c$ n’est pas $<a$, et parconséquent pas $<a'$ ; donc $2b\alpha$ n’est certainement pas $<a\alpha ^{2}\ ;$ ainsi $2b$ n’étant pas $>a$, $\alpha$ ne sera pas $<\alpha ^{2}$, ce qui exige qu’on ait $\alpha =0$, ou $\alpha =\pm 1$.

1^o. Si $\alpha =0$, l’équation (1) donne $c=a'$, et comme on a à-la-fois $a$ non $>a'$ et non $<c$, il s’ensuit que $a=a'=c$ : or