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ARITHMÉTIQUES.

jouit de la même propriété que la précédente. On pourra donc trouver une transformation propre de $F$ en $f$ .

Exemple. Soient les deux formes $(23,38,63)$ , $(15,20,27)$ ; On trouvera

pour	$\left\{{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right.$	la 1^ère…	$(23,38,63),$	$(63,25,10),$	$(10,5,3),$	$(3,1,2),$	$(2,-1,3)$ .
pour	$\left\{{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right.$	la 2^e …	$(15,20,27),$	$(27,\ \ 7,\ \ 2),$	$(\ \ 2,1,3).$

Les deux réduites sont opposées et ambiguës ; les deux formes proposées se rapportent parconséquent au premier cas. La suite de formes contiguës sera donc

$(23,28,63)$ ,	$(63,\;\;\ 25,10)$ ,	$(10,\;\;5,\;\ 3)$ ,	$(3,1,2)$ ,
$(\;2,-7,27)$ ,	$(27,-20,15)$ ,	$(15,20,27)$ .

Il en résulte $h'={\frac {38+25}{63}}=1$ , $h''={\frac {25+5}{10}}=3$ , $h'''=2$ , $h^{IV}=-3$ , $h^{V}=-1$ , $h^{VI}=0$ , d’où l’on déduit $\alpha ^{VI}=-13$ , $\beta ^{VI}=-18$ , $\gamma ^{VI}=8$ , $\delta ^{VI}=11$ . Donc en faisant $x=-13t-18u$ et $y=8t+11u$ , la forme $23x^{2}+76xy+63y^{2}$ se change en $15t^{2}+40tu+27u^{2}$ .

De la solution du problème précédent on déduit facilement la solution de celui-ci : $\mathrm {F}$ et $\mathrm {f}$ étant deux formes improprement équivalentes, trouver une transformation impropre de $\mathrm {F}$ en $\mathrm {f} .$ Soit en effet $f=at^{2}+2btu+a'u^{2}$ , la forme $g=ap^{2}-2bpq+a'q^{2}$ , qui est opposée à $f$ sera proprement équivalente à $F$ . On n’a donc qu’à chercher une transformation propre de $F$ en $g$ ; soit $x=\alpha p+\beta q$ , $y=\gamma p+\delta q$ cette transformation ; il est clair (n^os 158 et 159) que $F$ deviendra $f$ par la transformation $x=\alpha t-\beta u$ , $y=\gamma t-\delta u$ qui sera impropre.

Si donc les formes $F$ , $f$ sont équivalentes tant proprement qu’improprement, on pourra trouver une transformation propre et une transformation impropre.

179. Problème. Étant données deux formes équivalentes $\mathrm {F} ,$ $\mathrm {f} ,$ trouver toutes les transformations de $\mathrm {F}$ en $\mathrm {f} .$

Si les formes $F$ et $f$ ne sont équivalentes que d’une manière, c’est-à-dire, proprement ou improprement, on cherchera par le n^o précédent une transformation de $F$ en $f$ , et il est clair qu’il ne peut y en avoir d’autres que celles qui sont semblables