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RECHERCHES
à celle-là. Si les formes , sont équivalentes des deux manières, on cherchera deux transformations, l’une propre, l’autre
impropre. Soit , et le plus
grand commun diviseur des nombres , , . Alors, par le
no 162 il est constant que toutes les transformations de en
se déduiront d’une seule dans le premier cas, et que dans le
second toutes les transformations propres se déduiront d’une transformation propre, et toutes les transformations impropres, d’une
transformation impropre, pourvu qu’on ait toutes les solutions de
l’équation . Dès qu’elles seront trouvées, le problème sera résolu.
Or comme on a , il s’ensuit que ,
ou ; donc est un nombre entier. Cela posé,
1o. Si , on aura , et partant, dans l’équation
, on a nécessairement et . Donc si
et ne sont équivalentes que d’une manière, et qu’on ait une
transformation , , on n’en trouvera pas
d’autres que celle-là même qui résulte de la supposition
(no 162), et la transformation , ;
mais si et sont équivalentes des deux manières, et qu’on
ait une transformation propre , , et
une impropre , , on n’en trouvera
pas d’autres que ces deux, qui naissent de la supposition ,
et les deux , , …,
, que fournit la valeur .
2o. Si ou , l’équation admettra quatre
solutions : , ; , ; , ; ,
. Donc si , sont équivalentes d’une seule manière,
et qu’on ait la transformation , , on
en tirera en tout les quatre suivantes :
, |
——— |
, |
|
, |
|
; |
|
mais