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RECHERCHES

conséquent équivalente à la forme $(\pm 1,0,\pm 3)$ ou à celle-ci $\left(\pm 2,\pm 1,\pm 2\right)$ (n^o 176), d’où l’on voit facilement que la forme $\left(A,B,C\right)$ équivaut à l’une des formes $\left(\pm {\frac {m}{2}},0,\pm {\frac {3m}{2}}\right)$, $\left(\pm m,\pm {\frac {1}{2}}m,\pm m\right)$, qui sont toutes deux ambiguës. Donc, etc.

4^o. Si ${\frac {4D}{m^{2}}}=2$, on a $\left({\frac {2B}{m}}\right)^{2}=4{\frac {AC}{m^{2}}}-2$, et partant $\left({\frac {2B}{m}}\right)^{2}\equiv {-2}{\pmod {4}}$. Mais comme aucun quarré ne peut être $\equiv {-2}{\pmod {4}}$ (n^o 103), cette hypothèse est inadmissible.

5^o. Si ${\frac {4D}{m^{2}}}=1$, on a $\left({\frac {2B}{m}}\right)^{2}=4{\frac {AC}{m^{2}}}-1\equiv {-1}{\pmod {4}}$, ce qui est impossible ; donc cette hypothèse est encore inadmissible.

Comme d’ailleurs $D$ ne peut être ni $=0$, ni $<0$, il n’y a pas d’autres cas que ceux que nous venons de parcourir.

180. Problème. Trouver toutes les représentations d’un nombre donné $M$ par la forme $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$…F, dont le déterminant est négatif, les valeurs de $x$ et de $y$ étant premières entre elles.

On a vu (n^o 154) que l’on ne pouvait résoudre ce problème que dans le cas où $-D$ est résidu quadratique de $M\,;$ on cherchera donc d’abord toutes les valeurs différentes, c’est-à-dire, incongrues de l’expression${\sqrt {-D}}{\pmod {M}}\,;$ soient ces valeurs $\pm N$, $\pm N',$ $\pm N'',$ etc. Pour rendre le calcul plus simple, on peut prendre toutes ces valeurs telles qu’elles ne soient pas $>{\frac {1}{2}}M.$ Cela posé, comme une quelconque des représentations appartient à quelqu’une de ces valeurs, nous considérerons chacune en particulier.

Si les formes $F$, $\left(M,N,{\frac {D+N^{2}}{M}}\right)$ ne sont pas proprement équivalentes, il n’y aura aucune représentation de $M$ qui appartienne à la valeur $N$ (n^o 168) ; mais si elles le sont, on n’a qu’à chercher une transformation propre de $F$ en $\left(M,N,{\frac {D+N^{2}}{M}}\right)$, qui soit $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'$, et l’on aura $x=\alpha$, $y=\gamma$ pour la représentation du nombre $M$ par la forme $F$, qui appartient à la valeur $N$. Soit $m$ le plus grand diviseur commun des nombres $A$, $2B$, $C$, et nous pourrons distinguer trois cas :

1^o. Si ${\frac {4D}{m^{2}}}>4$, il n’y aura pas d’autres représentations que ces deux-ci : $x=\alpha$, $y=\gamma$ ; $x=-\alpha$, $y=-\gamma$ (n^os 169, 180).