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ARITHMÉTIQUES.
2o. Si , il y aura quatre représentations : , ,
, .
3o. Si , il y aura six représentations :
, |
—— |
; |
|
, |
|
; |
|
, |
|
. |
|
On cherchera de la même manière les représentations que donnent
les valeurs etc.
181. La recherche des représentations du nombre par la
forme , dans laquelle et ont des valeurs quelconques, peut
se ramener au premier cas. Supposons que cette représentation ait
lieu en faisant , , ensorte que soit le plus grand
diviseur commun des nombres , , ou que et soient premiers entre eux ; on aura , et parconséquent est divisible par ; et la substitution , fournira une représentation du nombre par la forme , dans laquelle et ont des valeurs premières entre elles. Si donc n’est divisible par aucun quarré, il n’y aura pas de telles représentations ;
mais s’il renferme des diviseurs quarrés, que nous appellerons
, , , etc ; On cherchera d’abord toutes les représentations du
nombre par la forme , dans lesquelles les valeurs
de , sont premières entre elles ; ces valeurs multipliées par ,
donneront toutes les représentations de , dans lesquelles est
le plus grand commun diviseur de et de ; de la même manière on trouvera toutes les représentations dans lesquelles est
le plus grand commun diviseur de et de , etc.
On peut donc, par les méthodes que nous venons d’exposer,
trouver toutes les représentations d’un nombre donné, par une
forme donnée de déterminant négatif.
182. Descendons maintenant à quelques cas particuliers remarquables autant à cause de leur élégance, que par l’assiduité avec
laquelle Euler s’en est occupé.
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