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ARITHMÉTIQUES.
2o. Si
, il y aura quatre représentations :
,
,
,
.
3o. Si
, il y aura six représentations :
, |
—— |
; |
|
, |
|
; |
|
, |
|
. |
|
On cherchera de la même manière les représentations que donnent
les valeurs
etc.
181. La recherche des représentations du nombre
par la
forme
, dans laquelle
et
ont des valeurs quelconques, peut
se ramener au premier cas. Supposons que cette représentation ait
lieu en faisant
,
, ensorte que
soit le plus grand
diviseur commun des nombres
,
, ou que
et
soient premiers entre eux ; on aura
, et parconséquent
est divisible par
; et la substitution
,
fournira une représentation du nombre
par la forme
, dans laquelle
et
ont des valeurs premières entre elles. Si donc
n’est divisible par aucun quarré, il n’y aura pas de telles représentations ;
mais s’il renferme des diviseurs quarrés, que nous appellerons
,
,
, etc ; On cherchera d’abord toutes les représentations du
nombre
par la forme
, dans lesquelles les valeurs
de
,
sont premières entre elles ; ces valeurs multipliées par
,
donneront toutes les représentations de
, dans lesquelles
est
le plus grand commun diviseur de
et de
; de la même manière on trouvera toutes les représentations dans lesquelles
est
le plus grand commun diviseur de
et de
, etc.
On peut donc, par les méthodes que nous venons d’exposer,
trouver toutes les représentations d’un nombre donné, par une
forme donnée de déterminant négatif.
182. Descendons maintenant à quelques cas particuliers remarquables autant à cause de leur élégance, que par l’assiduité avec
laquelle Euler s’en est occupé.
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