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RECHERCHES
2o. Pour qu’un nombre puisse être représenté par la forme
et étant premiers entre eux, il faut que ce nombre
ait pour résidu. Soit donc un nombre qui ait pour résidu,
et soit une valeur de alors (no 176) les formes
seront proprement équivalentes. Supposons que la première se change en la seconde par la transformation propre on aura deux
représentations du nombre appartenantes
à la valeur et il n’y en aura pas d’autres (no 180 — 1o.) D’ailleurs
on voit, comme ci-dessus, que les représentations qui appartiennent
à sont Mais ces quatre représentations ne
donnent qu’une seule décomposition du nombre en un quarré
et le double d’un quarré, et si l’expression n’a
pas d’autres valeurs que et il n’y aura pas d’autre décomposition, De là, à l’aide des propositions du no 116, on déduit
facilement le théorème suivant :
Tout nombre premier de la forme ou peut être décomposé en un quarré et le double d’un quarré, et cela d’une seule manière ; ainsi,
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etc.
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Ce théorème, ainsi que plusieurs autres semblables, était connu
de Fermat ; mais Lagrange l’a démontré le premier (Suite des Recherches Arithmétiques. Nouv. Mém. de l’Ac. de Berlin, 1775, p. 323). Euler avait déjà trouvé beaucoup de choses qui appartenaient à ce sujet (Specimen de usu observationum in mathesi purâ. Com. nov. Petr. T. V. ) ; mais la démonstration, complète lui a toujours échappé, p. 220. On peut voir aussi, T. VIII,
la dissertation intitulée : Supplementum quorumdam theorematum arithmeticorum.
3o. Par la même méthode on démontrera que tout nombre dont
est résidu quad., peut être représenté par la forme ,
ou par la forme de manière que et soient