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Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/182

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RECHERCHES


une autre ; et nous observerons qu’aucun des termes extrêmes ne peut être nul, car, sans cela, le déterminant serait un quarré (no 171). Cela posé, soit et compris entre et (en prenant le signe supérieur quand est positif, et le signe inférieur quand il est négatif) ; il est aisé de démontrer que l’opération est possible, par un raisonnement semblable à celui du no 5. Soit ensuite , sera un nombre entier, parceque . Si , on prendra encore , et compris entre et (suivant que sera positif ou négatif), et  ; si l’on a on prendra encore et compris entre et , et , etc. On continuera ainsi jusqu’à ce que l’on parvienne à un terme qui ne soit pas plus petit que le précédent , ce qui doit arriver nécessairement, car autrement une progression de nombres entiers pourrait décroître à l’infini. Alors en faisant , , , la forme satisfera à toutes les conditions. En effet :

1o. Puisque dans la suite de formes , , , etc. une quelconque est contiguë à celle qui la précède ; la dernière sera proprement équivalente à la première.

2o. Comme est compris entre et , en prenant toujours le signe supérieur quand est positif, et le signe inférieur quand il est négatif, il est clair que si l’on fait et , et seront des nombres positifs, quel que puisse être le signe de . Or on s’assurera aisément que  ; or le premier membre est essentiellement positif, donc le second l’est aussi ; et comme , il s’ensuit que  ; mais n’est pas plus grand que , donc nécessairement et sont de signe contraire ; donc aussi, puisque , on a et .

3o. Puisque et que , on a (abstraction faite du signe) ; et comme est non , on a

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