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RECHERCHES
3o. Il suit de là que
est aussi une forme réduite.
4o.
et
seront
; car chacun d’eux est
, et
à plus forte raison
.
5o.
est compris entre
et
(en prenant le signe
supérieur lorsque
est positif, et le signe inférieur quand il est
négatif). En effet, comme
est compris entre
et
, on aura
, ou
: d’ailleurs
, donc
est compris entre
et
. On démontrerait absolument de la même manière que
est compris entre
et
(suivant que
est positif ou négatif).
6o. Pour toute forme réduite
, on peut en trouver une également réduite qui lui soit contiguë par l’une ou l’autre partie ; mais on n’en pourra trouver qu’une.
Soit
,
, et compris entre
et
,
; la forme
sera contiguë par la
dernière partie, à la forme
; et il est clair que s’il
existe une forme réduite contiguë à la forme
par la
dernière partie, elle ne peut être autre que
; il reste
à faire voir que cette forme est effectivement réduite.
(A). Soit fait
;
,
il suit de la définition des formes réduites, et de (2o),
que
,
,
sont positifs ; et si l’on fait encore
,
,
et
seront positifs, puisque
tombe entre
et
; soit enfin
,
sera entier. Or il est
clair que
, d’où il suit que
, et
partant
, et
non
; et comme on a encore
, d’où l’on tire
,
il s’ensuit que
est nécessairement positif, et comme
,
que
.
(B). Or on a
, d’où
donc
d’ailleurs
donc
donc enfin
est compris entre
et
La forme
est donc une forme réduite.
On démontrera de la même manière, que si l’on fait