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RECHERCHES

et $m+n+1$ sont incongrus suivant le module $2n$, les formes $F^{(m+1)}$ et $F^{(m+n+1)}$ ne seront pas identiques (n^o 186, où $n$ représente ce que représente ici $2n$), Dans la période 1, les formes $(1,8,-15)$, $(2,7,-15)$ ; dans la période 2, les formes $(-1,8,15)$, $(-2,7,15)$ sont ambiguës.

8^o. Réciproquement, toute période qui renferme une forme ambiguë sera elle-même son associée. En effet, on voit aisément que si $F^{(m)}$ est une forme réduite ambiguë, sa forme associée, qui est aussi réduite, lui sera en même temps contiguë par la première partie, c’est-à-dire que $F^{(m-1)}$ et $F^{(m)}$ sont associées. Mais alors toute la période sera elle-même son associée. Il suit de là que dans une période, il faut nécessairement qu’il y ait plus d’une forme ambiguë ; mais il ne peut y en avoir plus de deux.

En effet, supposons que dans la période de la forme $F$, il se trouve trois formes ambiguës $F^{(\lambda )}$, $F^{(\mu )}$, $F^{(\nu )}$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$ étant $<2n$, et inégaux. Alors les formes $F^{(\lambda -1)}$ et $F^{(\lambda )}$ seront associées ; de même $F^{(\lambda -2)}$ et $F^{(\lambda +1)}$, etc. et enfin $F$ et $F^{(2\lambda -1)}$ ; par la même raison, $F$ et $F^{(2\mu -1)}$, $F$ et $F^{(2\nu -1)}$, seront associées. Donc les formes $F^{(2\lambda -1)}$, $F^{(2\mu -1)}$, $F^{(2\nu -1)}$ seront identiques, et partant leurs indices seront congrus suivant le module $2n$ ; donc aussi $\lambda \equiv \mu \equiv \nu {\pmod {2n}}$, ce qui est absurde, puisqu’il est évident qu’il n’y a pas trois nombres différens congrus suivant le module $2n$, et plus petits que lui.

188. Comme toutes les formes de la même période sont proprement équivalentes, on est porté naturellement à chercher si deux formes prises dans des périodes différentes peuvent être équivalentes. Mais avant de prouver que la chose est impossible, il est nécessaire que nous nous occupions de la transformation des formes réduites.

Comme dans ce qui va suivre il sera souvent question de la transformation des formes, et afin d’éviter autant qu’il est possible la prolixité, nous nous servirons dorénavant de la manière suivante d’écrire. Si une forme $LY^{2}+2M.XY+NY^{2}$ se change

en