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ARITHMÉTIQUES.
ront le même signe, ainsi que et , desorte que dans la
première formule, on doit prendre pour une différence absolue
et une somme dans la seconde, sans qu’il soit besoin de faire
attention au signe.
Exemple. Pour et , on peut employer la forme
; on trouve , , , ,
, , . De là et
(abstraction faite du signe) ; d’où
et . On trouve la même chose par l’autre formule.
Au reste, il y a plusieurs autres artifices par lesquels on peut
simplifier le calcul mais le désir d’abréger ne nous permet pas
d’en parler avec plus d’étendue.
200. Pour tirer toutes les valeurs de et de de la connaissance des plus petites, nous mettrons l’équation
sous la forme ; d’où l’on tire
……(1),
étant un nombre quelconque. Faisons pour abréger,
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……
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ensorte que ces expressions soient représentées par et quand
(elles sont alors , ) ; par, quand (elles sont alors
et ) ; par et quand ; par et quand , etc. Nous
allons démontrer qu’en prenant pour tous les nombres entiers positifs depuis jusqu’à : 1o. toutes les valeurs de ces expressions
satisferont à l’équation proposée ; 2o. toutes ces valeurs sont entières ; 3o. il n’y a pas de valeurs de et qui ne soient contenues dans ces formules.
I. En substituant pour et leurs valeurs, on prouve sans
peine qu'on a , c’est-à-dire,
II. On démontre facilement de la même manière qu’on a gé-