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RECHERCHES
néralement , et . Il
suit de là que les deux progressions : , , , , etc. ; , ,
, , etc. sont récurrentes, et que l’échelle de relation est pour
chacune d’elles , , savoir, ; , etc.
, etc.
Or, par hypothèse, il existe une forme dont le déterminant est et dans laquelle , , sont divisibles par ,
et l’équation donne , ainsi
sera divisible par ; donc est un nombre entier et positif. Comme d’ailleurs , , , , les termes
des deux séries sont entiers ; il est clair aussi que étant ,
ces mêmes termes sont tous positifs, et vont en augmentant à
l’infini.
III. Supposons qu’il y ait d’autres valeurs positives de ,
qui ne soient pas contenues dans les progressions , , , etc.
, , , etc. ; et , par exemple. Puisque la série , , etc.
croît à l’infini, sera nécessairement compris entre deux termes
consécutifs et , ensorte qu’on ait et .
Pour démontrer l’absurdité de cette supposition, observons que :
1o. L’équation sera satisfaite en posant
, , ce qui peut se
confirmer sans peine par la substitution. Représentons ces valeurs
par et nous prouverons, comme il suit, que ce sont des
nombres entiers. Si est une forme dont le déterminant est , et que soit le diviseur commun des nombres
, , , et sont divisibles par , et partant l’est aussi ;
donc sera entier et par suite, puisque .
2o Il est clair que ne peut être ; en effet, il s’ensuivrait
, ou
d’où l’on tire , contre l’hypothèse par laquelle