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RECHERCHES

néralement $t^{(e+1)}+t^{(e-1)}={\frac {2T}{m}}t^{(e)}$ , et $u^{(e+1)}+u^{(e-1)}={\frac {2T}{m}}u^{(e)}$ . Il suit de là que les deux progressions : $t^{0}$ , $t'$ , $t''$ , $t'''$ , etc. ; $u^{0}$ , $u'$ , $u''$ , $u'''$ , etc. sont récurrentes, et que l’échelle de relation est pour chacune d’elles ${\frac {2T}{m}}$ , $-1$ , savoir, $t''={\frac {2T}{m}}t'-t$ ; $t'''={\frac {2T}{m}}t''-t'$ , etc. $u''={\frac {2T}{m}}u'-u$ , etc.

Or, par hypothèse, il existe une forme $(M,N,P)$ dont le déterminant est $D$ et dans laquelle $M$ , $2N$ , $P$ sont divisibles par $m$ , et l’équation $t^{2}=Du^{2}+m^{2}$ donne $T^{2}=(N^{2}-MP)U^{2}+m^{2}$ , ainsi $4T^{2}$ sera divisible par $m^{2}$ ; donc ${\frac {2T}{m}}$ est un nombre entier et positif. Comme d’ailleurs $t^{0}=m$ , $t'=T$ , $u^{0}=0$ , $u'=U$ , les termes des deux séries sont entiers ; il est clair aussi que $T^{2}$ étant $>m^{2}$ , ces mêmes termes sont tous positifs, et vont en augmentant à l’infini.

III. Supposons qu’il y ait d’autres valeurs positives de $t$ , $u$ qui ne soient pas contenues dans les progressions $t^{0}$ , $t'$ , $t''$ , etc. $u^{0}$ , $u'$ , $u''$ , etc. ; $T'$ et $U'$ , par exemple. Puisque la série $u^{0}$ , $u'$ , etc. croît à l’infini, $U'$ sera nécessairement compris entre deux termes consécutifs $u^{n}$ et $u^{n+1}$ , ensorte qu’on ait $U'>u^{n}$ et $U'<u^{n+1}$ . Pour démontrer l’absurdité de cette supposition, observons que :

1^o. L’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$ sera satisfaite en posant $t={\frac {1}{m}}(T't^{(n)}-DU'u^{(n)})$ , $t={\frac {1}{m}}(U't^{(n)}-T'u^{(n)})$ , ce qui peut se confirmer sans peine par la substitution. Représentons ces valeurs par $\tau$ et $\upsilon$ nous prouverons, comme il suit, que ce sont des nombres entiers. Si $(M,N,P)$ est une forme dont le déterminant est $D$ , et que $m$ soit le diviseur commun des nombres $M$ , $2N$ , $P$ , $T'+NU'$ et $t^{(n)}+Nu^{(n)}$ sont divisibles par $m$ , et partant $U'(t^{(n)}+Nu^{(n)})-u^{(n)}(T'-NU')=U't^{(n)}-u^{(n)}T'$ l’est aussi ; donc $\upsilon$ sera entier et $\tau$ par suite, puisque $\tau ^{2}=D\upsilon ^{2}+m^{2}$ .