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ARITHMÉTIQUES.
Ainsi toutes les formes de déterminant 
peuvent se distribuer
en dix classes, qui se distingueront par les différentes formes réduites qui y seront contenues. Ces formes réduites sont : 
qui sont improprement équivalentes à elles-mêmes ; 
qui est improprement
équivalente à 
; 
qui est improprement équivalente à 
212. Problème. Trouver toutes les représentations d’un nombre donné 
par une forme donnée 
de déterminant 
On peut tirer la solution de ce problème, des principes de
l’art. 165, absolument de la même manière que nous l’avons fait
plus haut (nos 180, 181, 205), pour les formes de déterminant négatif, et positif non quarré, et comme il n’y a en cela aucune
difficulté, il serait superflu de le reprendre ici. Mais il ne sera pas
hors de propos de déduire la solution d’un autre principe qui est
propre à ce cas particulier.
Ayant fait comme aux nos 206, 208, 
,
, 
, on prouve sans peine que la forme
proposée est le produit des deux facteurs 
et 
; d’où
il suit évidemment que toute représentation du nombre 
par la
forme proposée donne la résolution du nombre en deux facteurs.
Si donc tous les diviseurs du nombre sont 
, 
, 
, etc. (1 et
y compris et chacun d’eux étant pris positivement et négativement), il est clair que l’on obtiendra toutes les représentations du
nombre , en posant successivement 
, 
;
, 
, etc. On tirera de là différentes valeurs
de 
et de 
, parmi lesquelles on rejettera celles qui ne sont pas
entières. Or les deux premières équations donnent évidemment
valeurs qui sont toujours déterminées parceque 
, et que
parconséquent le dénominateur des fractions n’est jamais 
,
