204
RECHERCHES
210. Théorème. Si deux formes réduites sont improprement équivalentes, on aura étant le plus grand commun diviseur des nombres ou et réciproquement si ont le même plus grand diviseur commun et qu’on ait les formes seront improprement équivalentes.
I. Si la forme se change en par la transformation impropre , , , , on aura les équations
|
|
……(1), |
—
|
|
|
……(2),
|
|
|
……(3), |
—
|
|
|
……(4).
|
On déduit de l’équation (1)
|
|
|
|
ou |
|
|
|
Or en combinant les équations (2) et (4), on tire ,
et comme la supposition réduirait l’équation (1) à
contre l’hypothèse, on doit avoir ou et
partant l’équation (4) donne alors
ou Ainsi la congruence que nous avions trouvée
devient
II. Si est le plus grand diviseur commun des nombres
et qu’on ait seront entiers, et l’on s’assure aisément que la forme se
change en par la substitution et
que cette substitution est impropre. Ainsi ces formes seront improprement équivalentes.
On peut aussi juger sur-le-champ si une forme réduite
est improprement équivalente à elle-même, puisqu’on aura alors
211. On trouve toutes les formes réduites de déterminant en
prenant pour dans la forme tous les nombres entiers
depuis et y compris jusqu’à inclusivement ; ainsi le
nombre en sera Il est évident que l’on peut distribuer toutes
les formes de déterminant en autant de classes, et qu’elles jouiront de la même propriété que ci-dessus (nos 175, 185), pour les
formes de déterminant négatif et de déterminant positif non quarré.