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ARITHMÉTIQUES.
change en par la substitution , , , ,
on a ,
et que si l’on a , la forme non-seulement renferme
la forme , mais lui est équivalente, et que partant, si renferme
sans lui être équivalente, le quotient sera entier . Ainsi le
problème à résoudre est : Juger si une forme donnée de déterminant renferme la forme donnée de déterminant où est supposé un nombre positif . Pour y parvenir, nous assignerons un nombre fini de formes contenues sous la forme , et telles que soit équivalente à l’une d’elles, si elle est contenue
dans .
I. Soient , , , etc. les diviseurs positifs du nombre
(y compris et ) et . Désignons,
pour abréger, par la forme en laquelle se change par la
substitution propre , , , ; par celle qui résulte de la
substitution propre , , , , etc., et généralement par
celle qui résulte de la substitution propre , , , . On entendra
de même les expressions , , etc. , etc. Toutes
ces formes seront contenues proprement dans la forme , et le déterminant de chacune d’elles sera . Nous représenterons par
l’ensemble de toutes les formes , ,… ;
, … , etc., dont le nombre est
etc., et qui sont toutes différentes, comme on le
verra aisément.
Si l’on a, par exemple, et , comprendra
les six formes ; ; , , , , qui sont, calcul fait, ; , , , , .
II. Or je dis que si la forme de déterminant est contenue dans , elle sera nécessairement proprement équivalente à
une des formes . Supposons en effet que se change en par
la substitution propre , , , ; on aura [1]. Soit n
- ↑ L’auteur a été probablement conduit à sa démonstration par l’analyse suivante
qui peut la remplacer.
Supposons la forme renfermée dans la forme , et que se change en par