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RECHERCHES
le plus grand commun diviseur des nombres , , qui ne peuvent
être nuls tous les deux, et . Soient les nombres , tels
que , le résidu minimum positif du nombre
suivant le module . Alors la forme , qui est évidemment
une des formes , sera proprement équivalente à la forme , et
se changera même en elle par la substitution propre
la substitution , , , . Soit une des formes , et , , , , la substitution qui change en . Soit enfin , , , la substitution propre
qui change en une forme équivalente ; la forme se changera en cette dernière
par la substitution : , . Si donc l’on peut déterminer les
nombres de manière qu’on ait
il est clair que sera équivalente à .
Or les équations , donnent , : et comme , doivent être premiers entre eux, sera le plus grand commun diviseur des
nombres , . Des deux autres équations, on tire en éliminant ou ,
et comme la seconde de ces équations revient évidemment à ,
il ne reste plus qu’à satisfaire à la première et à l’équation . Si
l’on suppose que et soit une solution quelconque de cette dernière,
on aura en général , ; substituant ces valeurs dans celle
de , elle devient
,
ou
.
Ainsi en prenant pour le résidu minimum positif de , suivant le module , la forme ou se trouvera parmi les formes . On a pour lors
,
,
ce qui est, au signe de près, le résultat de l’auteur.
Il est aisé de voir que la forme restera la même de quelque manière que et
soient déterminés ; elle serait encore la même, quand on aurait d’autres valeurs
de , , , pourvu que le diviseur commun de [mot oublié ?], n’eût pas changé, non
plus que le résidu minimum positif de : mais dans tout autre cas la
forme changera. Il suit de là qu’il peut y avoir plusieurs formes , , , etc.
Les propositions que l’auteur démontre dans le no suivant, sont évidentes d’après
ces observations. (Note du traducteur).
Car