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ARITHMÉTIQUES.

Car 1^o. il est évident que ces quatre nombres sont entiers ; 2^o. on s’assure aisément que la substitution est propre ; 3^o. il est clair (n^o 159) que la forme en laquelle se change $(m;k)$, par la transformation précédente, est la même que celle en laquelle $f$ se change par la transformation

$m\left({\frac {\gamma }{n}}.{\frac {\alpha g+\beta h-k}{m}}+h\right)+{\frac {k\gamma }{n}},\quad m\left({\frac {\delta }{n}}.{\frac {\alpha g+\beta h-k}{m}}-g,\right)+{\frac {k\delta }{n}},\quad \gamma ,\quad \delta .$

Or le premier de ces quatre nombres se réduit sur-le-champ à ${\frac {1}{n}}\left(\alpha \gamma g+(\beta \gamma +mn)h\right)$, le second à ${\frac {1}{n}}\left((\alpha \delta -mn)g+\beta \delta h\right)$ ; d’ailleurs on a $mn=e=\alpha \delta -\beta \gamma$ : donc $\beta \gamma +mn=\alpha \delta$ et $\alpha \delta -mn=\beta \gamma$, ce qui donne pour les deux expressions précédentes ${\frac {\alpha }{n}}(\gamma g+\delta h)$, ${\frac {\beta }{n}}(\gamma g+\delta h)$ se réduisent évidemment à $\alpha$, $\beta$, puisqu’on a $\gamma g+\delta h=n$. Ainsi cette transformation est $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ ; donc $(m;k)$ se change en $F$ et partant $(m;k)$ et $F$ sont proprement équivalentes, puisqu’elles ont d’ailleurs le même déterminant.

On pourra toujours juger par là si une forme $f$ de déterminant $D$ renferme proprement une forme de déterminant $De^{2}$ ; mais quand on cherche si $f$ renferme $F$ improprement, on doit chercher si la forme opposée à $F$ est renfermée dans $f$.

214. Problème. Étant données deux formes $\mathrm {f}$ et $\mathrm {F}$ dont les déterminans sont respectivement $\mathrm {D}$ et $\mathrm {De^{2}} ,$ et dont la première renferme la seconde proprement ; trouver toutes les transformations propres de $\mathrm {f}$ en $\mathrm {F} .$

En représentant par $\Omega$ le même ensemble de formes qu’au numéro précédent, on en extraira toutes les formes auxquelles $F$ est proprement équivalente. Désignons-les par $\varphi$, $\varphi '$, $\varphi ''$, etc. ; chacune de ces formes fournira des transformations propres de $f$ en $F$, en donnera de différentes, et il n’y aura aucune transformation de la forme $f$ en $F$ qui ne soit donnée par une des formes $\varphi$, $\varphi '$, $\varphi ''$, etc. Au reste, comme la méthode est la même pour toutes ces formes, nous ne nous occuperons que d’une seule.

Supposons $\varphi =(M;K)$ et $e=MN$ de manière que $f$ se change en $\varphi$ par la substitution propre, $M$, $K$, $0$, $N$. Désignons par $\alpha '$,

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