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RECHERCHES

$10t+$

$275u$,

—

$t+$

$10u$,

—

$-15t-$

$275u$,

—

$-t$

$-15u$.

Ainsi ces deux formules embrassent toutes les transformations propres cherchées.

On trouve de la même manière que les transformations impropres sont données par les deux formules,

$65t-$	$1100u$,	—	$4t$	$-65u$,	—	$-15t+$	$275u$,	—	$-t$	$+15u$,
$10t+$	$275u$,	—	$-10t$	$-10u$,	—	$-15t-$	$275u$,	—	$t$	$+15u$,

215. Jusqu’à présent nous avons écarté de nos recherches les formes dont le déterminant $=0$. Pour compléter notre théorie, il nous reste à ajouter quelque chose à leur sujet. Comme il a été démontré généralement que si une forme de déterminant $D$ renferme une forme de déterminant $D'$, $D'$ est multiple de $D$ ; il s’ensuit qu’une forme de déterminant $=0$ ne peut renfermer aucune forme dont le déterminant ne soit aussi $=0$. Il ne nous reste donc que deux problèmes à résoudre ; savoir :

1^o . Étant données deux formes $\mathrm {f}$ et $\mathrm {F} ,$ dont la seconde a $0$ pour déterminant, découvrir si la première renferme la seconde ; et dans ce cas, trouver toutes les transformations de $\mathrm {f}$ en $\mathrm {F} .$

2^o . Trouver toutes les représentations d’un nombre donné par une forme donnée de déterminant $=0$.

Le premier problème doit être traité différemment, quand le déterminant de la première forme est aussi $=0$, et quand il ne l’est pas.

I. Observons avant tout qu’une forme $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ dont le déterminant $=0$, peut se représenter ainsi : $m(gx+hy)^{2}$, $g$ et $h$ étant entiers et premiers entre eux, et m un nombre entier. Soit en effet $m$ le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $c$, en lui donnant le même signe qu’à ces nombres, qui doivent évidemment en avoir un semblable, ${\frac {a}{m}}$ et ${\frac {c}{m}}$ seront entiers, positifs et premiers entre eux ; leur produit doit être égal à ${\frac {b^{2}}{m^{2}}}$ qui est un quarré, et partant, chacun d’eux en doit être un aussi. Soit ${\frac {a}{m}}=g^{2}$ et ${\frac {c}{m}}=h^{2}$, $g$ et $h$ seront aussi premiers entre eux, et l’on