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Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/241

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ARITHMÉTIQUES.

entiers premiers entre eux ; c’est-à-dire avec avec (no 212). Il en résulte

,—— ……(1),
,—— ……(2).


Mais comme ces formules peuvent conduire à des valeurs fractionnaires pour moins que l’on n’ait il sera utile de distinguer les valeurs de qui rendent et entiers dans chaque formule ; d’ailleurs il suffira de considérer la première, parceque la même méthode s’appliquera à la seconde.

Puisque et sont premiers entre eux, on peut déterminer deux nombres tels qu’on ait  ; substituant et leurs valeurs tirées de la formule (1), on a


d’où il suit que les valeurs de qui rendront , entiers, doivent être congrues à suivant le module ou être contenues sous la formule étant un nombre entier quelconque. On obtient facilement par là, au lieu de la formule (1), la formule suivante :


qui donnera évidemment des valeurs entières pour toutes les valeurs de , si elle en donne pour une seule. Or il suffit pour cela, qu’on ait Si cette congruence n’a pas lieu, la formule (1) ne donnera pas de valeurs entières. On traitera de même la formule (2).

219. Quand la forme peut se changer en , sont des entiers (no 215). Soit fait l’équation proposée devient


éliminant entre cette équation et l’équation on a


Or il est clair que ces valeurs satisferont à l’équation, en donnant

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