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ARITHMÉTIQUES.

entiers premiers entre eux ; c’est-à-dire $A$ avec $B,$ $A'$ avec $B'$ (n^o 212). Il en résulte

$x={\frac {Az+cd-be}{b^{2}-ac}}$,——	$y={\frac {Bz+ae-bd}{b^{2}-ac}}$	……(1),
$x={\frac {A'z+cd-be}{b^{2}-ac}}$,——	$y={\frac {B'z+ae-bd}{b^{2}-ac}}$	……(2).

Mais comme ces formules peuvent conduire à des valeurs fractionnaires pour $x,$ $y,$ moins que l’on n’ait $b^{2}-ac=1\,;$ il sera utile de distinguer les valeurs de $z$ qui rendent $x$ et $y$ entiers dans chaque formule ; d’ailleurs il suffira de considérer la première, parceque la même méthode s’appliquera à la seconde.

Puisque $A$ et $B$ sont premiers entre eux, on peut déterminer deux nombres $A_{1},$ $B_{1},$ tels qu’on ait $AA_{1}+BB_{1}=1$ ; substituant $A$ et $B$ leurs valeurs tirées de la formule (1), on a

$(A_{1}x+B_{1}y)(b^{2}-ac)=z+A_{1}(cd-be)+B_{1}(ae-bd)\ ;$

d’où il suit que les valeurs de $z$ qui rendront $x$, $y$ entiers, doivent être congrues à $A_{1}(be-cd)+B_{1}(bd-ae),$ suivant le module $b^{2}-ac,$ ou être contenues sous la formule $(b^{2}-ac)z'+A_{1}(be-cd)+B_{1}(bd-ce),$ $z'$ étant un nombre entier quelconque. On obtient facilement par là, au lieu de la formule (1), la formule suivante :

$x$	$=Az'+B_{1}{\frac {A(bd-ae)-B(be-cd)}{b^{2}-ac}}$
$y$	$=Bz'-A_{1}{\frac {A(bd-ae)-B(be-cd)}{b^{2}-ac}}$

qui donnera évidemment des valeurs entières pour toutes les valeurs de $z'$, si elle en donne pour une seule. Or il suffit pour cela, qu’on ait $A(bd-ae)\equiv B(be-ad){\pmod {b^{2}-ac}}.$ Si cette congruence n’a pas lieu, la formule (1) ne donnera pas de valeurs entières. On traitera de même la formule (2).

219. Quand $b^{2}-ac=0,$ la forme $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ peut se changer en $m(\alpha x+\beta y)^{2},$ où $m$, $\alpha ,$ $\beta$ sont des entiers (n^o 215). Soit fait $\alpha x+\beta y=z,$ l’équation proposée devient

$mz^{2}+2dx+2ey+f=0\ ;$

éliminant entre cette équation et l’équation $\alpha x+\beta y=z,$ on a

$x={\frac {\beta mz^{2}ez+\beta f}{2(\alpha e-\beta d)}},\quad y={\frac {\alpha mz^{2}dz+\alpha f}{2(\beta d-\alpha e)}}.$

Or il est clair que ces valeurs satisferont à l’équation, en donnant

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