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RECHERCHES
Or nous avons fait voir plus haut que toutes les valeurs positives
de forment une suite récurrente , , , etc., et que les valeurs
correspondantes de en forment une autre , , , etc. ; qu’en
outre on pouvait toujours trouver un nombre tel qu’on eût,
suivant un module donné quelconque,
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,—— |
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—— |
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, |
etc., |
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, |
|
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, |
etc., |
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Prenons pour ce module le nombre , et désignons par
, les valeurs qui résultent pour , de la substitution de , ;
par , celles qui résultent de , , etc. On voit alors sans
peine que si , sont des nombres entiers, et que soit convenablement déterminé, les valeurs , ; ,
etc. ; , seront des nombres entiers, et qu’au
contraire si ou est fractionnaire , ou le sera
aussi. Il suit de là que si l’on cherche les valeurs de , depuis , jusqu’à , , et qu’aucunes d’elles ne soient
entières, la formule (1) ne donnera absolument aucunes valeurs
entières pour , . Mais si l’on en trouve quelques-unes, par
exemple, , ; , , etc,, toutes les valeurs entières données
par la formule (1) seront celles de , , dont les accens seront
, , etc., désignant tous les nombres entiers positifs, y compris zéro.
Les autres formules dans lesquelles sont contenues les valeurs
de , doivent être traitées absolument de la même manière, et
s’il arrivait que d’aucune d’elles on n’obtînt des valeurs entières
pour , , l’équation proposée, ne serait pas résoluble en nombres
entiers ; mais toutes, les fois qu’elle le sera, les solutions entières
pourront s’obtenir par ce que nous venons d’exposer.
218. Quand est un quarré et qu’on a , toutes les
valeurs de , sont comprises sous deux formules de cette forme
où est un nombre entier quelconque, , , , , des nombres