on pourra donner à une valeur non-divisible et à une valeur divisible ; enfin, quand et sont divisibles par , et que partant ne l’est pas, on pourra donner à et à des valeurs non-divisibles. Dans ces trois cas, il est évident que la valeur de la forme ne sera pas divisible par .
Le théorème a lieu également pour les formes improprement primitives, pourvu qu’on n’ait pas .
Comme plusieurs conditions de cette espèce peuvent exister à-la-fois, de manière qu’un nombre soit divisible par de certains nombres premiers, et qu’il ne soit pas divisible par d’autres, on voit facilement que les nombres , peuvent être déterminés d’une infinité de manières qui rendent non-divisible par tant de nombres premiers qu’on voudra (excepté lorsque la forme est improprement primitive). Ainsi le théorème peut être énoncé plus généralement ainsi qu’il suit :
On peut représenter par une forme primitive quelconque, une infinité de nombres premiers à un nombre donné quelconque (impair, quand la forme est improprement primitive).
229. Theorème. Soit une forme primitive de déterminant un nombre premier qui divise alors tous les nombres non-divisibles par qui peuvent être représentés par la forme seront tous résidus quadratiques de ou tous non-résidus.
Soit deux nombres quelconques non-divisibles par et qui peuvent être représentés par la forme on aura
et partant
donc sera congru à un quarré, suivant le module et
parconséquent suivant le module c’est-à-dire que est résidu quadratique de Il suit de là que et seront tous deux
résidus ou non-résidus (no 98).
On prouve de la même manière, que si est divisible par les nombres impairs qui peuvent être représentés par
