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RECHERCHES

sont tous $\equiv 1$, ou tous $\equiv 3$ ; en effet, le produit de deux d’entre eux sera résidu de $4$, et partant $\equiv 1{\pmod {4}}$ ; parconséquent ils seront tous les deux $\equiv 1$, ou tous les deux $\equiv 3$.

Enfin, quand $D$ est divisible par $8$, le produit de nombres impairs qui peuvent être représentés par $F$, est résidu de $8$, et partant $\equiv 1{\pmod {8}}$ ; ainsi dans ce cas les nombres impairs qui peuvent être représentés par $F$ sont tous $\equiv 1$, ou tous $\equiv 3$, ou tous $\equiv 5$, ou tous $\equiv 7{\pmod {8}}$.

Par exemple, le nombre $10$, qui est non-résidu de $7$, pouvant être représenté par la forme $(10,5,17)$, tous les nombres non-divisibles par $7$ qui pourront être représentés par cette forme seront non-résidus de $7$. Comme $-5$ peut être représenté par la forme $(-5,1,49)$ et qu’il est $\equiv 1{\pmod {4}}$, tous les nombres impairs qui pourront être représentés par cette forme seront aussi $\equiv 1{\pmod {4}}$.

Au reste, s’il était nécessaire pour notre objet, nous pourrions démontrer facilement que les nombres représentables par la forme $F$ n’ont pas ainsi une relation fixe à l’égard d’un nombre premier qui ne divise pas $D$, et que l’on peut représenter par la forme $F$ des résidus ou non-résidus de ce nombre premier indifféremment. Mais quant aux nombres $4$ et $8$, il y a dans les autres cas quelque chose d’analogue que nous ne pouvons pas passer sous silence.

I. Quand le déterminant $\mathrm {D}$ d’une forme primitive $\mathrm {F}$ est $\equiv 3{\pmod {4}}$, les nombres impairs représentables par $\mathrm {F}$ seront tous $\equiv 1$, ou tous $\equiv 3{\pmod {4}}$.

Soient, en effet, $m$, $m'$ deux nombres représentables par $F$, on pourra, comme ci-dessus, ramener leur produit à la forme $p^{2}-Dq^{2}$, et les deux nombres $m$, $m'$ étant impairs, l’un des deux nombres $p$, $q$ sera pair et l’autre impair, et partant l’un des quarrés $p^{2}$, $q^{2}$ sera $\equiv 0$, l’autre $\equiv 1{\pmod {4}}$ ; d’où l’on conclut aisément que $p^{2}-Dq^{2}\equiv 1{\pmod {4}}$, et parconséquent $m$, $m'$ tous deux $\equiv 1$ ou tous deux $\equiv 3{\pmod {4}}$. Ainsi, par exemple, par la forme $(10,3,17)$ on ne peut représenter d’autres nombres impairs que ceux qui sont de la forme $4n+1$.

II. Quand le déterminant $\mathrm {D}$ d’une forme primitive $\mathrm {F}$ est $\equiv 2{\pmod {8}}$, tous les nombres impairs représentables par $\mathrm {F}$ seront

ou