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ARITHMÉTIQUES.

ou en partie $\equiv 1$ et en partie $\equiv 7$, ou en partie $\equiv 3$ et en partie $\equiv 5{\pmod {8}}$.

Soient $m$, $m'$ deux nombres représentables par $F$ leur produit peut être ramené à la forme $p^{2}-Dq^{2}$ ; si $m$ et $m'$ sont impairs, $p$ doit l’être puisque $D$ est pair, et parconséquent on a $p^{2}\equiv 1{\pmod {8}}$ ; or si $q$ est pair, $q^{2}$ sera $\equiv 0$, ou $\equiv 4{\pmod {8}}$ ; s’il est impair, $q^{2}$ sera $\equiv 1{\pmod {8}}$ ; ainsi $Dq^{2}$ ne peut être que $\equiv 0$ ou $\equiv 2$. Il suit de là que $p^{2}-Dq^{2}=mm'\equiv 0$ ou $\equiv 7$, et que si $m\equiv 1$ ou $\equiv 7$, on aura aussi $m'\equiv 1$ ou $\equiv 7$ ; si $m\equiv 3$ ou $\equiv 5$, $m'$ sera $\equiv 3$ ou $\equiv 5$. Par exemple, tous les nombres représentables par la forme $(3,1,5)$ sont $\equiv 3$ ou $\equiv 5{\pmod {8}}$, et aucun nombre de la forme $8n+1$ ou $8n+7$ ne peut être représenté par la forme $(3,1,5)$.

III. Quand le déterminant $\mathrm {D}$ d’une forme primitive $\mathrm {F}$ est $\equiv 6{\pmod {8}}$, les nombres impairs qui pourront être représentés par $\mathrm {F}$ seront ou en partie $\equiv 1$ et en partie $\equiv 3$, ${\pmod {8}}$, ou en partie $\equiv 5$ et en partie $\equiv 7{\pmod {8}}$.

Chacun pourra faire la démonstration, qui est absolument semblable à la précédente.

Par exemple, par la forme $(5,1,7)$ on ne pourra représenter que des nombres qui sont $\equiv 5$ ou $\equiv 7{\pmod {8}}$.

230. Ainsi tous les nombres qui peuvent être représentés par une forme primitive donnée de déterminant $D,$ ont une relation déterminée avec les différens diviseurs premiers de $D,$ par lesquels ils ne sont pas divisibles, et les nombres impairs qui peuvent être représentés par $F,$ ont, dans certains cas, une relation avec les nombres $4$ et $8,$ savoir, avec $4$, toutes les fois que $D\equiv 0$ ou $\equiv 3{\pmod {4}},$ et avec $8$, toutes les fois que $D\equiv 0,$ ou ${\pmod {3}}\equiv 4,$ ou $\equiv 6{\pmod {8}}.$ Cependant on pourra négliger la relation qui a lieu avec $4$, lorsque $D$ sera divisible par $8,$ car cette relation est contenue dans celles qui ont lieu avec $8$. Nous appellerons caractère ou caractère particulier cette espèce de relation, et nous l’exprimerons de la manière suivante. Quand il n’y a que les résidus du nombre premier $p$ qui peuvent être représentés par la forme $F,$ nous lui attribuerons le caractère $R.p,$ et dans le cas contraire, le

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