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Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/264

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RECHERCHES


ou généralement étant un nombre entier donné, , des entiers différens dont est le plus grand, et compris entre et qu’en outre, toutes les quantités de la forme n’aient pas de diviseur commun ; alors on peut trouver quatre nombres entiers , , , tels que l’on ait

—— —— ——etc.
——etc.


ou généralement auquel cas on aura

Puisque, par hypothèse, les nombres , , etc. , etc., dont le nombre est , n’ont pas de diviseur commun, on peut trouver autant de nombres entiers tels que la somme des produits des premiers par les derniers soit (no 40). Désignons ces multiplicateurs par , , etc. , etc. ; ou généralement désignons le multiplicateur de par , desorte qu’on ait , désignant la somme de toutes les valeurs qui peuvent résulter de la quantité qu’il précède, lorsqu’on donne successivement à et toutes les valeurs comprises entre et , de manière que . Cela posé , si l’on fait

,
,
,
,


les nombres , , , jouiront des propriétés énoncées ci-dessus.

I. étant un nombre entier quelconque entre et , on aura

 ;


et par un calcul semblable, on prouve que .