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RECHERCHES

ou généralement $\mathrm {c^{\lambda }d^{\mu }-d^{\lambda }c^{\mu }=k(a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu })} ,$ $\mathrm {k}$ étant un nombre entier donné, $\mu$, $\nu$ des entiers différens dont $\mu$ est le plus grand, et compris entre $0$ et $\mathrm {n} \,;$ qu’en outre, toutes les quantités de la forme $\mathrm {a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu }}$ n’aient pas de diviseur commun ; alors on peut trouver quatre nombres entiers $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ tels que l’on ait

$\mathrm {\alpha a+\beta b=c} ,$	——$\mathrm {\alpha a'+\beta b'=c'} ,$	——$\mathrm {\alpha a''+\beta b''=c''} ,$	——etc.
$\mathrm {\gamma a+\delta b=d} ,$	$\mathrm {\gamma a'+\delta b'=d'} ,$	——etc.

ou généralement $\mathrm {\alpha a^{\nu }+\beta b^{\nu }=c^{\nu }} ,$ $\mathrm {\gamma a^{\nu }+\delta b^{\nu }=d^{\nu }} \,;$ auquel cas on aura $\alpha \delta -\beta \gamma =\mathrm {k} .$

Puisque, par hypothèse, les nombres $ab'-a'b$, $ab''-a''b$, etc. $a'b''-a''b'$, etc., dont le nombre est ${\frac {1}{2}}(n+1)n$, n’ont pas de diviseur commun, on peut trouver autant de nombres entiers tels que la somme des produits des premiers par les derniers soit $=1$ (n^o 40). Désignons ces multiplicateurs par $(0,1)$, $(0,2)$, etc. $(1,2)$, etc. ; ou généralement désignons le multiplicateur de $a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu }$ par $(\lambda ,\mu )$, desorte qu’on ait $\sum (\lambda ,\mu )(a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu })=1$, $\sum$ désignant la somme de toutes les valeurs qui peuvent résulter de la quantité qu’il précède, lorsqu’on donne successivement à $\lambda$ et $\mu$ toutes les valeurs comprises entre $0$ et $n$, de manière que $\mu >\lambda$. Cela posé , si l’on fait

$\sum (\lambda ,\mu )(c^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }c^{\mu })$	$=\alpha$,
$\sum (\lambda ,\mu )(a^{\lambda }c^{\mu }-c^{\lambda }a^{\mu })$	$=\beta$,
$\sum (\lambda ,\mu )(d^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }d^{\mu })$	$=\gamma$,
$\sum (\lambda ,\mu )(a^{\lambda }d^{\mu }-d^{\lambda }a^{\mu })$	$=\delta$,

les nombres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ jouiront des propriétés énoncées ci-dessus.

I. $\nu$ étant un nombre entier quelconque entre $0$ et $n$, on aura

$\alpha a^{\nu }+\beta b^{\nu }$	$=\sum (\lambda ,\mu )(c^{\lambda }b^{\mu }a^{\nu }-b^{\lambda }c^{\mu }a^{\nu }+a^{\lambda }c^{\mu }b^{\nu }-c^{\lambda }a^{\mu }b^{\nu }$
	$={\frac {1}{k}}\sum (\lambda ,\mu )(c^{\lambda }d^{\mu }c^{\nu }-d^{\lambda }c^{\mu }c^{\nu })$
	$={\frac {1}{k}}c^{\nu }\sum (\lambda ,\mu )(a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }c^{\mu })$
	$=c^{\nu }$ ;

et par un calcul semblable, on prouve que $\gamma a^{\nu }+\delta b^{\nu }=d^{\nu }$.