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ARITHMÉTIQUES.

l’équation (9) donne

$App''+B(pq''+p''q)+Cqq''=bb'+\Delta$………(11),

De ces onze équations on tire les suivantes, savoir :

En élevant l’équation (5) au quarré et en retranchant le pro-

a facilement $R+S$, $R-S$ : les équations (ε), (ξ) s’anéantissent d’elles-mêmes, et les équations (1), (2) et (3) donnent sans peine, comme dans le n^o 157, $P^{2}D=a^{2}d'\,;$ substituant dans les équations qui donnent $Q$, $R$, $S$, $T$ et dans l’équation de condition, et faisant ${\sqrt {\frac {d'}{D}}}=n'$, ${\sqrt {\frac {d}{D}}}=n$ ; il vient

$P$	$=an'$,	$Q$	$=a'n$,	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\\\ \ \end{matrix}}\right\}$……(Γ).
$R-S$	$=2bn'$,	$R+S$	$=2b'n$,
$T$	$=c'n$,	$U$	$=cn',$


Comme $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$, $U$ sont entiers, on voit que 1^o  $n$ et $n'$ sont rationnels, et partant, ${\frac {d}{D}}$, ${\frac {d'}{D}}$ des nombres carrés ; 2^o . si $n$ est une fraction, son dénominateur doit être un diviseur de $m'$ plus grand commun diviseur entre $a'$, $2b'$, $c'$, et que parconséquent $m'n$ est entier ; il en est de même de $mn'$. Or ces équations $d=Dn^{2}$, $d'=Dn'^{2}$ donnent $dm'^{2}=D(m'n)^{2}$, $d'm^{2}=D(mn')^{2}$ ; donc $D$ ne peut pas être plus grand que le plus grand commun diviseur entre $dm'^{2}$ et $d'm^{2}$.

Il est aisé de démontrer que le plus grand commun diviseur $k$ des nombres $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$, $U$ doit diviser $mn'$ et $m'n$. En effet, on a

$mn'=P:{\frac {a}{m}}=(R-S):{\frac {2b}{m}}=U:{\frac {c}{m}}$


parconséquent ${\frac {P}{k}}:\left({\frac {R-S}{k}}\right)={\frac {a}{m}}:{\frac {2b}{m}}$ et ${\frac {P}{k}}:{\frac {U}{k}}={\frac {a}{m}}:{\frac {C}{m}}\ ;$


mais deux des trois nombres ${\frac {a}{m}}$, ${\frac {2b}{m}}$, ${\frac {c}{m}}$ sont nécessairement premiers entre eux ; donc ${\frac {P}{k}}$ est divisible par ${\frac {a}{m}}$, ainsi l’on a ${\frac {Pm}{ak}}={\frac {mn'}{k}}$ égal à un nombre entier. On démontre de même pour $m'n$ et la réciproque, comme l’auteur (4^e  conclusion ).

Aux six équations (Γ) doivent être ajoutées les équations (1), (2), (5) qu’on peut mettre sous une forme plus simple en éliminant deux des nombres $A$, $B$, $C$, alternativement ; on trouve

$AP^{2}$	$=aa'q'^{2}-2ab'qq'+ac'q^{2}$
$BP^{2}$	$=-aa'p'q'+ab'(pq'+p'q)-ac'pq$
$CP^{2}$	$=aa'p'^{2}-2ab'pp'+ac'p^{2}$ ;


donc $AP^{2}$, $2BP^{2}$, $CP^{2}$ sont divisibles par $mm'$.

On obtiendra les 15 autres équations de l’auteur, en substituant les valeurs de $p'$, $q'\ :$ 1^o . en fonction de $p$, $p''$ et de $q$, $q''$ ; 2^o . en fonction de $p$, $p'''$ et de $q$, $q'''$, ainsi de suite. On suivra quant au reste la marche de l’auteur (Note du Traducteur).