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RECHERCHES
que leur rapport est celui de à sera la racine quarrée de de même, les nombres sont proportionnels aux nombres et si l’on suppose que leur rapport est celui de à sera la racine quarrée de
Au reste les quantités , peuvent être les racines positives
ou négatives de et , d’où nous tirons une distinction qui paraît stérile au premier abord, mais dont l’usage se reconnaîtra
par la suite. Nous dirons que dans la transformation de en ,
la forme est prise directement quand est positif, indirectement
quand est négatif, et de même à l’égard de . Mais en ajoutant
la condition que , nous dirons que la forme est composée
ou directement des deux formes , , ou indirectement de ces deux
mêmes formes, ou directement de et indirectement de , ou
directement de et indirectement de , suivant que les deux
nombres , seront positifs ou négatifs, ou que sera positif
et négatif, ou négatif et positif. D’ailleurs on voit facilement
que ces relations ne dépendent pas de l’ordre dans lequel ces formes
sont placées.
Or nous observons que le plus grand diviseur commun des nombres divise les nombres , ce qui
résulte des valeurs établies plus haut pour ces nombres, et que
parconséquent doit diviser , , et les nombres
, ; mais réciproquement tout diviseur commun de ,
divisera aussi . En effet, soit un de ces diviseurs, il divisera
évidemment les nombres , , , , , , et partant,
, , , , , et d’après cela et . Or si
était impair, le serait aussi, puisque la somme est paire ainsi que
la différence ; leur produit serait donc impair. Mais ce produit
est et parconséquent pair, puisque divise , , , . Donc est nécessairement pair, et partant, et sont divisibles par .
Donc