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ARITHMÉTIQUES.
Donc divisant les six nombres , , , , , , divisera aussi leur plus grand commun diviseur . Donc est le plus grand diviseur commun entre et ; d’où l’on voit facilement que
est le plus grand commun diviseur des nombres , .
C’est la quatrième conclusion. Il est donc clair que toutes les fois que sera composée de et , comme on a , sera
le plus grand commun diviseur des nombres , et réciproquement. Cette propriété aurait pu être prise comme définition de la forme composée. Ainsi la forme composée des formes , ,
a le plus grand déterminant possible parmi toutes les formes qui
peuvent être transformées en le produit .
Avant que nous puissions aller plus loin, il faut déterminer avec
plus d’exactitude la valeur de que nous avons trouvé , mais dont le signe n’est pas encore fixé. À cet effet, nous déduirons des équations fondamentales l’équation ,
en retranchant le produit de l’équation (1) par l’équation (2), de
celui de l’équation (5) par l’équation (6) ; et partant, , ou , à moins qu’un des nombres , ne fut nul. Mais on tire des équations (1).... .(2) absolument de la même manière, huit autres équations dans lesquelles à gauche, à droite, sont multipliés par , , , , , , , ; et comme les nombres , , ne peuvent être nuls en même temps, non plus que les nombres , , , il s’ensuit qu’on aura dans tous
les cas , et que parconséquent aura le même signe que , , , ou un signe différent, suivant que et auront le même signe, ou un signe différent.
Or les nombres , , , , , , , , , sont tous divisibles par . La chose est évidente pour les neuf premiers ; quant aux deux autres, on les
démontrera comme nous avons démontré plus haut que et étaient divisibles par . En effet, et sont
divisibles par puisque , que est divisible par , par , partant, par et
par ; la somme et la différence des quotiens sont paires ; et comme l’on démontre facilement que le produit des quotiens est également pair, chacun de ces quotiens l’est aussi, et parconséquent et sont divisibles par .
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