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ARITHMÉTIQUES.

$4bb'$, $2bc'$, $ca'$, $2b'c$, $cc'$ ; partant, $am'$, $2bm'$, $cm'$, qui sont respectivement les plus grands diviseurs communs des trois premiers, des trois moyens et des trois derniers, et enfin $mm'$ qui est le plus grand commun diviseur de ces trois nombres. Donc, lorsque $F$ est composée de $f$ et $f'$, c’est-à-dire lorsque $k=1$, on a nécessairement $M=mm'$. C’est la cinquième conclusion.

Si le plus grand commun diviseur des nombres $A$, $B$, $C$ est $M_{1}$, ou aura $M_{1}=M$, quand $F$ sera une forme propre ou dérivée d’une forme propre, et $M_{1}={\frac {1}{2}}M$ quand $F$ sera une forme impropre ou dérivée d’une forme impropre. Soient de même $m_{1}$, $m'_{1}$, les plus grands diviseurs communs des nombres $a$, $b$, $c$ ; $a'$, $b'$, $c'$, respectivement : on aura $m_{1}=m$ ou ${\frac {m}{2}}$, $m'_{1}=m'$ ou ${\frac {m'}{2}}$. Or il est évident que ${m_{1}}^{2}$ divise $d$, que ${m'_{1}}^{2}$ divise $d'$, que parconséquent ${m_{1}}^{2}{m'_{1}}^{2}$ divise $dd'$ ou $\Delta ^{2}$, et que ${m_{1}}{m'_{1}}$ divise $\Delta$. Ainsi, des six équations $BP^{2}$ etc., etc., il suit que $m_{1}m'_{1}$ divise $Bk^{2}$, et partant $M_{1}k^{2}$, car il divise aussi $Ak^{2}$ et $Ck^{2}$ ; donc toutes les fois que $F$ sera composée de $f$ et $f'$, $m_{1}m'_{1}$ divisera $M_{1}$ lui-même, et si, dans ce cas, les deux formes $f$, $f'$ sont proprement primitives ou dérivées de formes proprement primitives ; on aura $m_{1}m'_{1}=mm'=M$ ; donc $M_{1}=M$, c’est-à-dire que $F$ sera une forme semblable. Mais si, dans le même cas, chacune des formes $f$, $f'$, ou l’une des deux seulement, $f$ par exemple, est improprement primitive ou dérivée d’une forme improprement primitive, il suit des équations fondamentales, que les nombres $aa'$, $2ab'$, $ac'$, $a'b$, $2bb'$, $bc'$, $a'c$, $2b'c$, $cc'$ sont divisibles par $M_{1}$, et partant, $m_{1}m'={\frac {1}{2}}mm'={\frac {1}{2}}M$ ; donc $M_{1}={\frac {1}{2}}M$ ; ainsi la forme $F$ est improprement primitive, ou dérivée d’une forme improprement primitive. C’est la sixième conclusion.

Enfin nous observons que si les neuf équations

$P$	$=\,an',$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\}$
$R-S$	$=\,2bn',$
$U$	$=\,cn',$
$Q$	$=\,a'n,$
$R+S$	$=\,2b'n,$		……(Ω)
$T$	$=\,c'n,$
$Ann'$	$=\,q'q''-qq''',$
$2Bnn'$	$=\,pq'''+p'''q-p'q''-p''q',$
$Cnn'$	$=\,p'p''-pp''',$

sont supposées avoir lieu, pourvu que $n$, $n'$ ne soient pas $=0$, on s’assurera facilement, par la substitution, que toutes les équations fondamentales sont satisfaites, c’est-à-dire que la forme $(A,B,C)$ se change, par la substitution $p$, $p'$, $p''$, $p'''$ ; $q$, $q'$,

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